Contact: Jörn Steuding, Dept. Mathematics, Würzburg University, Am Hubland, D-97074 Würzburg, Germany | Tel.: +49 931 31-85008, sommerschule at mathematik.uni-wuerzburg.de
Sommer-Schule 2009

Sommer-Schule:
Algebra, Zahlentheorie und Riemannsche Flächen

21. - 26. September, 2009

Wichtig: Letzte Informationen! Hier können 'Letzte Informationen, das Programm und Lagepläne' heruntergeladen werden. Die handbeschriftete 'Karte' gibt es hier noch einmal separat.

am Institut für Mathematik der Universität Würzburg (organisiert von Florian Stefan, Peter Müller, Jörn Steuding)

Diese Sommer-Schule wird mit Teilen der Studiengebühren finanziert und bietet die Gelegenheit, weiterführende Themen aus dem Bereich der Algebra und der Zahlentheorie kennen zu lernen. Einerseits werden zwei Vortragsreihen von Prof. Dr. Jürgen Wolfart (Frankfurt) und Prof. Dr. Kay Magaard (Birmingham) zusammen mit Prof. Dr. Peter Müller (Würzburg) angeboten, die eine Übersicht über kombinatorische, arithmetische und gruppentheoretische Eigenschaften Riemannscher Flächen geben. Andererseits werden interessierte Studierende Gelegenheit haben, ausgewählte Themen zu bearbeiten und den anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmern vorzustellen. Am Samstag, den 26. September, wird es ein abschließendes Kolloquium mit Vorträgen zu aktuellen Themen aus angrenzenden Gebieten geben.

      Kay Magaard (Birmingham)                                 Jürgen Wolfart (Frankfurt)      

     

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    Prof. J. Wolfart: Kinderzeichnungen auf Riemannschen Flächen und algebraischen Kurven

Der Dozent dieses Vorlesungszyklusses ist Prof. Dr. Jürgen Wolfart vom Institut für Mathematik der Universität Frankfurt (Bild oben rechts). Ein Teilbereich seines Arbeitsgebietes ist das Studium der arithmetischen und funktionentheoretischen Eigenschaften Riemannscher Flächen mit Mitteln der Gruppentheorie und Kombinatorik.

"Kinderzeichnungen" oder "Dessins d'enfants" - so Grothendiecks Bezeichnung - sind Graphen auf kompakten orientierbaren Flächen, welche diese Flächen in einfach zusammenhängende Zellen zerlegen. Diesen Kinderzeichnungen kann man eindeutig eine konforme Struktur auf der Fläche zuordnen, so dass man also Funktionentheorie auf diesen Flächen betreiben kann. Mehr noch: Jede algebraische Kurve, die durch Gleichungen mit algebraischen Koeffizienten definiert werden kann, entsteht auf diese Weise. Die Vortragsreihe soll deutlich machen, wie die Kombinatorik dieser Kinderzeichnungen mit der Funktionentheorie und Arithmetik dieser algebraischen Kurven in Wechselwirkung tritt.

Literatur: G. Jones, J. Wolfart: 'Dessins d'enfants', Skript zu einer ''summer school'' in Jyväskylä 2006, aufgeschrieben von Tuomas Puurtinen;

Vorkenntnisse: Teilnehmer sollten die Riemannsche Zahlenkugel als Prototyp einer Riemannschen Fläche kennen und wissen, wie Möbiustransformationen auf der Riemannschen Zahlenkugel operieren. Es wäre gut, wenn jeder Teilnehmer die ersten zehn Seiten des oben genannten Skriptes vorab gelesen hätte. Um so besser natürlich, wenn man noch weiter darin vordringt oder auf der Homepage von Prof. Wolfart die dort unter Lehre/SoSe 2007 zur Verfügung gestellte Literatur 'Kinderzeichnungen und Uniformisierungstheorie' herunterlädt.

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    Prof. Dr. K. Magaard, Prof. Dr. Peter Müller: Das Umkehrproblem der Galoistheorie

Die Dozenten dieses Vorlesungszyklusses sind Prof. Dr. Kay Magaard, School of Mathematics, University of Birmingham (Bild oben links) und Prof. Dr. Peter Müller aus Würzburg. Ihre Arbeitsgebiete behandeln alle möglichen Aspekte von Gruppen, insbesondere ihre Anwendungen in Geometrie und Zahlentheorie.

Die von Hilbert gestellte Frage, ob für jede endliche Gruppe G ein ganzzahliges Polynom mit Galoisgruppe G existiert, heute als Umkehrproblem der Galoistheorie bekannt, ist offen. In unserer Vortragsreihe werden wir Methoden vorstellen, mit denen man unendliche Serien interessanter Gruppen als Galoisgruppen nachweisen kann. Unser Ausgangpunkt ist der Riemannsche Existenzsatz, der unter anderem besagt, dass jede endliche Gruppe als Galoisgruppe über dem Körper C(t) der rationalen Funktionen über den komplexen Zahlen darstellbar ist. Unser erstes Ziel sind rein gruppentheoretische Kriterien, mit denen man die Existenz einer Gruppe als Galoisgruppe nachweisen kann. Eine zweites Ziel ist die Anwendung der Kriterien auf Serien einfacher Gruppen. Zum Schluss werden wir noch etwas auf Hurwitzräume eingehen. Das sind algebraische Varietäten, die es erlauben, das Umkehrproblem der Galoistheorie in eine äquivalente Frage über rationale Punkte auf Varietäten zu übersetzen. Auch hier erlaubt es die Gruppentheorie gelegentlich, solche rationalen Punkte nachzuweisen. Hierzu muss man die Operation von Zopfgruppen auf Erzeugendensystemen der Zielgruppe betrachten.

Literatur: Malle-Matzat: Inverse Galois Theory; Serre: Topics in Galois Theory; Voelklein: Groups as Galois Groups -- an Introduction

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    Zur Einstimmung: Einführende Literatur

Folgende einführende Literatur ist ab sofort im Semesterapparat der Teilbibliothek Mathematik zugänglich:

  • Bump: Algebraic Geometry and the Theory of Curves
  • Forster: Riemannsche Flächen
  • Hartshorne: Algebraic Geometry
  • Lamotke: Riemannsche Flächen
  • Malle-Matzat: Inverse Galois Theory
  • Serre: Topics in Galois Theory
  • Stepanov: Arithmetic of Algebraic Curves
  • Stichtenoth: Algebraic Function Fields and Codes
  • Voelklein: Groups as Galois Groups -- an Introduction

    Neben den im Internet zugänglichen Skripten 'Kinderzeichnungen und Uniformisierungstheorie' von Prof. Wolfart bzw. 'Dessins d'enfants' von Jones & Wolfart ist ferner noch 'Algebraische Kurven' von Prof. Stoll zu empfehlen. ___________________________________________________________________

    Zur Anmeldung schreibe man bitte bis Ende Juli eine Email an:

                    sommerschule@mathematik.uni-wuerzburg.de.