Inverse Probleme (Sommersemester 2015)

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Allgemeine Informationen:


Vorlesung/Seminar: Di 14:15 - 15:45 im Raum SE 40 und Do 16.15 - 17:45 im Raum S0.102


Typ: Arbeitsgemeinschaft, 4 Semesterwochenstunden (10 ECTS)

Modulzuordnung: Die Veranstaltung ist als "Arbeitsgemeinschaft Numerische Mathematik und Angewandte Analysis" in den Studiengängen Master Mathematik, Master Wirtschaftsmathematik, Master Computational Mathematics und Master Mathematische Physik anrechenbar

Prüfungsart: Seminarvortrag

Bewertungsart: Numerische Notenvergabe




Aktuelle Mitteilungen:


(28.06.) Am Montag, 29.06. und am Donnerstag, 02.07. finden keine Vorträge statt.

(03.06.) Am Donnerstag, 11.06. findet von 08:30 bis 09:00 eine Vorlesung im Raum S0.101 statt.

(03.06.) Am Freitag, 05.06. findet von 10:15 bis 11:45 eine Vorlesung im Raum S0.108 (Pabel Hösaal) statt.

(18.05.) Die Vorlesung am Dienstag, 19.05. wird auf Donnerstag, 21.05. verschoben und findet von 08:30 bis 10:00 im Raum S0.101 statt.

(14.04.) Die Lehrveranstaltung am Donnerstag wurde von 08:15-09:45 auf 16:15-17:45 verschoben.

(24.03.) In der ersten Vorlesung werden im Rahmen einer kurzen Vorbesprechung die Themen für die Vorträge im zweiten Teil der Lehrveranstaltung vergeben.

(24.03.) Die Lehrveranstaltung beginnt am 14.04.2015.




Kommentare:


Inhalt:

Zwei Probleme nennt man invers zueinander, wenn die Formulierung des einen Problems die Lösung des anderen Problems erfordert und umgekehrt: Man kann zum Beispiel einerseits mit Hilfe eines mathematischen Modells zur Beschreibung des Abschwächungsverhaltens von Röntgenstrahlung beim Durchlaufen eines menschlichen Körpers bei bekannter Gewebe- und Knochenverteilung das Ergebnis einer Röntgenuntersuchung vorhersagen. Andererseits kann man aber auch versuchen anhand des Ergebnisses mehrerer Röntgenuntersuchungen ein räumliches Bild der Verteilung von Gewebe und Knochen im Inneren dieses Körpers zu rekonstruieren. Häufig ist eines zweier zueinander inverser Probleme nicht eindeutig lösbar und/oder seine Lösungen hängen nicht stetig von den gegebenen Daten ab, während das andere Problem einfacher zu behandeln ist. Entsprechend wird das erste Problem als schlecht gestellt bzw. als das inverse Problem bezeichnet, während das andere das direkte Problem genannt wird. Standardmethoden der Numerik versagen typischerweise bei der Lösung schlechtgestellter Probleme – das inverse Problem muss regularisiert werden. Bekannte Beispiele für inverse Probleme sind neben dem bereits genannten inversen Problem der Computertomographie z.B. das Cauchy Problem für elliptische Differentialgleichungen oder Problemstellungen aus der Bildverarbeitung.

Im ersten Teil der Lehrveranstaltung wird in Form einer Vorlesung eine Einführung in die funktionalanalytischen Grundlagen von Regularisierungsverfahren für lineare schlecht gestellte Probleme gegeben. Dabei werden die zugehörigen numerischen Ansätze überwiegend im funktionalanalytischen Kontext behandelt. Im zweiten Teil der Vorlesung werden im Rahmen von Seminarvorträgen einerseits Erweiterungen der Inhalte des ersten Teils diskutiert und andererseits konkrete Anwendungsbeispiele besprochen.

Folgende Vortragsthemen sind geplant:
  1. Konfokale Fluoreszenzmikroskopie
  2. Computertomographie: Grundlagen
  3. Computertomographie: Das Kaczmarz-Verfahren
  4. Computertomographie: Der EM-Algorithmus
  5. Computertomographie: Die Singulärwertzerlegung
  6. Das Cauchy-Problem für die Laplace-Gleichung
  7. Die seitliche Wärmeleitungsgleichung
  8. Stochastische Methoden für inverse Probleme
  9. Nichtlineare Tikhonov-Regularisierung
  10. Das nichtlineare Landweber-Verfahren
  11. Das klassische Levenberg-Marquardt-Verfahren
  12. Ein regularisierendes Levenberg-Marquardt-Verfahren
  13. Identifizierbarkeit leitender Einschlüsse in der elektrischen Impedanztomographie
  14. Levenberg-Marquardt-Rekonstruktion des Leitfähigkeitskoeffizienten in der elektrischen Impedanztomographie

Benötigte Vorkenntnisse: Grundkenntnisse in Numerischer Mathematik und Funktionalanalysis in Hilberträumen sind nützlich aber nicht zwingend notwendig.


Literatur:

  • H. W. Engl, M. Hanke and A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht, 1996
  • A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, 2nd ed., Springer, New York, 2011
  • R. Kress, Linear Integral Equations, Springer, 2014.
  • A. Rieder, Keine Probleme mit inversen Problemen, Vieweg, Braunschweig, 2003