Gruppen und ihre Darstellungen, Wintersemester 2011/12

Vorlesung: Mo 12:15-13:45, Mi 8:15-9:45, SE 30

Übungen: 2st. nach Vereinbarung

Für eine endliche Gruppe G und einen Körper K ist eine Darstellung ein Homomorphismus von G nach GL(V), wobei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K ist. Einerseits treten Darstellungen oft auf natürliche Weise auf, andererseits lassen sich Darstellungen häufig dazu benutzen, Sätze über abstrakte endliche Gruppen zu beweisen. Numerische Invarianten der irreduziblen Darstellungen erlauben es manchmal, Fragen über ansonsten sehr komplizierte Gruppen zu bearbeiten. Zwei klassische Beispiele, die wir unter anderem in der Vorlesung behandeln werden, sind die folgenden beiden Sätze:

Burnsides p^aq^b-Theorem: Eine endliche Gruppe, deren Ordnung nur durch zwei Primzahlen teilbar ist, ist auflösbar.
Satz von Frobenius über Frobeniusgruppen: Hat jedes Element einer transitiven endlichen Permutationsgruppe höchstens einen Fixpunkt, dann bildet die Menge der fixpunktfreien Elemente (zusammen mit dem Einselement) eine Untergruppe. Hierfür geben wir einen aktuellen Beweis von Knapp/Schmid, der in Lehrbüchern noch nicht zu finden ist.

Literatur

M.J. Collins: Representations and Characters of Finite Groups, 1990, Cambr. Univ. Press.
B. Huppert: Character Theory of Finite Groups, 1998, de Gruyter.
I. M. Isaacs: Character Theory of Finite Groups, 1976, Academic Press.
J.-P. Serre: Linear Representations of Finite Groups, 1977, Springer.

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