Algebra I, Wintersemester 2007/08
Vorlesung: Mo, Fr 10:00-11:30, HS 2
Übungen: in Gruppen, 2 St., Di 11:45-13:15, Mi 11:45-13:15,
13:30-15:00, S E37
Die Algebra hat ihre Wurzeln in der Geometrie und Zahlentheorie.
Klassische Beispiele
- Kann man mit Zirkel und Lineal beliebige Winkel dritteln, oder
Würfel verdoppeln?
- Kann man die Nullstellen von Polynomen stets durch Wurzeln und die
vier Grundrechenarten ausdrücken?
- Kann man für Funktionen wie exp(-x^2) explizite
Stammfunktionen angeben?
- Wie findet man rationale oder ganzzahlige Lösungen von Sytemen
von Polynomen in mehreren Veränderlichen, z.B. (für festes
n)
X^n+Y^n=Z^n mit X,Y,Z ganzzahlig (Fermat-Problem)?
Moderne Beispiele
- Wie überträgt man digitale Daten, bei deren Übertragung
Fehler auftreten können, durch Einbau von möglichst wenig Redundanz,
aber mit möglichst guter Fehlererkennungs- und
-korrekturmöglichkeit? Dies führt zur Kodierungstheorie.
- Wie überträgt man verschlüsselte Daten öffentlich, so
dass nur der vorgesehene Empfänger sie entschlüsseln kann? Das geht
sogar, ohne dass Sender und Empfänger vorher geheime Schlüssel
austauschen müssen, selbst die dürfen öffentlich mitgeteilt
werden (public key cryptography)! Dies führt zur Kryptographie.
In der Algebra haben sich wichtige Begriffe herauskristallisiert, nämlich
Gruppen, Ringe, Moduln (der Spezialfall der Vektorräume ist aus
der Linearen Algebra bekannt) und Körper. Diesen vier Begriffen
ist die Vorlesung Algebra I gewidmet.
Schwerpunkt der Algebra II ist die Galoistheorie, eine reizvolle Kombination
aus Gruppen- und Körpertheorie.
Literatur
- Artin, M.: Algebra, Birkhäuser.
- Bourbaki, N.: Algebre, mehrere Bände (umfassend, aber trocken!).
- Herstein, I. N.: Topics in Algebra, Blaisdell.
- Jacobson, N.: Basic Algebra I, II, Freeman.
- Lang, S.: Algebra, Addison-Wesley und neuerdings Springer.
- Lorenz, F., Lemmermeyer F.: Algebra 1, Elsevier.
- Meyberg, K.: Algebra I, II, Carl Hanser.
- Schulze-Pillot, R.: Elementare Algebra und Zahlentheorie, Springer.
- Stroth, G.: Algebra. Einführung in die Galoistheorie, de
Gruyter. (insbesondere für Algebra II).
- van der Waerden, B.L.: Algebra I, II. Springer.
- Wüstholz, G.: Algebra, Vieweg.
Skript
Eine rohe Version eines Skripts zur Vorlesung findet man hier. Für Hinweise auf Fehler oder
Verbesserungsvorschläge bin ich dankbar.
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