Der praktische Zweck der Codierungstheorie ist die Übertragung
von Nachrichten mit eingebauter Redundanz, so dass man
Übertragungsfehler erkennen, oder noch besser, sogar korrigieren
kann. Ein typisches Vorgehen könnte das folgende sein: Man
wählt Wörter der Länge n mit Buchstaben 0 und 1, und
verlangt, dass sich je zwei Wörter an mindestens 3 Stellen
unterscheiden. Auf diese Weise kann man, wenn höchstens ein
Übertragungsfehler aufgetreten war, das korrekte Wort eindeutig
identifizieren. Es ist natürlich wünschenswert,
möglichst viele Wörter einer Länge zur Verfügung
zu haben. Die Codierungstheorie besteht im wesentlichen aus drei
Aspekten:
1. Die Konstruktion möglichst guter Codes. Hierfür
werden zahlreiche Methoden der Zahlentheorie, Kombinatorik, und
algebraischen Geometrie verwendet.
2. Sätze, die die
Qualität von Codes nach oben beschränken. Im obigem Beispiel
sieht man sofort, dass man nicht mehr als 2^n/(n+1) Wörter haben
kann, da es zu jedem Wort n+1 Wörter gibt, die sich an
höchstens einer Stelle vom Codewort unterscheiden, und diese
(n+1)-elementigen Mengen disjunkt sind. Mit feineren oder auch
völlig anderen Methoden lassen sich bessere Schranken zeigen.
3. Algorithmen zur Codierung und Decodierung.
Die Aspekte 1. und 2. bilden den Schwerpunkt der Vorlesung. Ob auch
Codes behandelt werden, die Kenntnisse in algebraischer Geometrie
voraussetzen (Goppa Codes), wird vom Vorwissen der Zuhörer
abhängig gemacht.