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Arbeitsgemeinschaft Algebra

Summer term 2015


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Aktuelles

Vorläufiges Programm

In der algebraischen Deformationstheorie versucht man gewisse algebraische Strukturen wie etwa die Multiplikationsvorschrift in einer Algebra leicht abzuändern und anschließend zu prüfen, ob die neue Struktur zur alten in geeigneter Weise isomorph ist. Dies ist zunächst ein recht abstraktes und allgemeines Konzept, welches aber viele ganz konkrete und in der Anwendung relevante Fragestellungen beinhaltet. So kann man beispielsweise durch Deformation von algebraischen Strukturen folgende Probleme der mathematischen Physik formulieren:

In der Arbeitsgemeinschaft wollen wir nun die Grundlagen der Deformationstheorie kennenlernen. Hier gilt es also zunächst zu klären, welche algebraischen Strukturen man deformieren möchte und was man unter einer Deformation genau zu verstehen hat. Da wir einen rein algebraischen Zugang wählen, betrachtet man \emph{formale} Deformationen, also formale Potenzreihen in einem Deformationsparameter. In den obigen Beispielen ist der Deformationsparameter das Plancksche Wirkungsquantum $\hbar$ beziehungsweise die inverse Lichtgeschwindigkeit $\frac{1}{c}$. Es zeigt sich, dass sich jedes Deformationsproblem mit Hilfe einer geeigneten differentiell gradierten Lie-Algebra und deren Maurer-Cartan-Elementen beschreiben lässt. Existenz und Klassfikationsergebnisse zu Deformationsproblemen beschreibt man dann durch kohomologische Methoden. Wir werden diese neuen algebraischen Konzepte eingehend studieren. Neuere Zugänge zu differentiell gradierten Lie-Algebren benutzen wesentlich koalgebraische Ideen, welche wir im Detail diskutieren wollen.

Weitere Themen sind:

Die Arbeitsgemeinschaft zur algebraischen Deformationstheorie richtet sich an Studierende der Masterstudiengänge Mathematik sowie mathematische Physik und kann als AG Algebra (oder wahlweise als AG Mathematische Physik) verbucht werden. Als Arbeitsgemeinschaft gibt es wie immer zwei Komponenten: zum einen wird eine zweistündige Vorlesung angeboten, in der die Grundlagen der Theorie vorgestellt werden. Zum anderen werden von den Studierenden Vorträge zu spezielleren Themen in einem Blockseminar gegen Ende des Semesters gehalten. Hierzu gehört auch einen schriftliche Ausarbeitung, die den übrigen Teilnehmerinnen und Teilnehmern zugänglich gemacht wird.

Vorkenntnisse

Diese Arbeitsgemeinschaft erfordert lediglich eine gute Vertrautheit mit den Grundvorlesungen des Bachelor-Studiums. Hier benötigen wir insbesondere Konzepte wie Tensorprodukte, Lie-Algebren und assoziative Algebren. Nach Absprache werden hier auch gerne Details im Vorlesungsteil wiederholt. Zur Motivation ist eine gewisse Vertrautheit mit einfachen differentialgeometrischen und auch physikalischen Konzepten aus der klassischen Mechanik und Quantenmechanik nützlich aber keineswegs notwendig.

Literatur

Die Literaturliste ist recht umfangreich und wird zu Beginn der Veranstaltung noch erklärt.

Termine

Links


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