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Analysis und Geometrie von klassischen Systemen

Vorlesung Sommersemester 2014


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Aktuelles

Vorläufiges Programm

Die Vorlesung richtet sich zunächst an Studierende des Masterprogramms in Mathematischer Physik, kann auch gewinnbringend von Studierenden der Masterprogramme Physik oder Mathematik besucht werden.

Ziel der Vorlesung ist es, die geometrische Interpretation verschiedener Feldgleichungen der mathematischen Physik zu verstehen. Felder werden dabei als Abbildungen einer Mannigfaltigkeit, der Raumzeit, in eine andere Mannigfaltigkeit, die die Werte der Felder beschreibt, verstanden. Etwas allgemeiner und geometrischer interpretiert man Felder als Schnitte von Faserbündeln über der Raumzeit. Die Fasern, also die möglichen Feldwerte, können dabei Vektorräume aber auch allgemeinere Mannigfaltigkeiten sein.

Während dieser sehr allgemeine Feldbegriff durchaus schon interessante Beispiele liefert, etwa die Sigma-Modelle, so spielen speziellere Feldtheorien eine besondere Rolle in der Physik. Hier werden wir vor allem Eichtheorien kennenlernen, welche auf mathematischer Seite durch Hauptfaserbündel und ihre assoziierten Bündel gegeben sind. Dazu werden wir die nötigen Symmetrien durch Lie-Gruppen und ihre glatten Wirkungen beschreiben.

Feldgleichungen erhält man wenn auch nicht immer so doch meistens aus einem Wirkungsprinzip: in allen relevanten Beispielen ist die Wirkung ein Funktional der gesuchten Felder, welches als Integration einer Lagrange-Dichte über die Raumzeit geschrieben werden kann. Die wichtigsten Feldgleichungen sind dann die Yang-Mills-Gleichungen. Während physikalisch die Eichtheorien die Wechselwirkungen beschreiben, und damit das elektromagnetische Feld verallgemeinern, benötigt man für die (massiven) Materiefreiheitsgrade Spinorfelder. Dies führt uns zu Spinstrukturen auf der Raumzeit. In Kombination mit den Eichtheorien kann man dann schon fast die gesamten in der Teilchenphysik relevanten Felder verstehen: es fehlt nur noch das Higgs-Feld und der Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung.

Wenn es die Zeit zulässt, werden wir am Ende dann auch die metrischen Freiheitsgrade berücksichtigen, womit wir also im Reich der allgemeinen Relativitätstheorie angekommen sind. Hier ist der metrische (pseudo-) Riemannsche Tensor selbst ein dynamischer Freiheitsgrad und nicht länger a priori gegeben. Die Feldgleichungen sind dann die Einstein-Gleichungen.

  1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel
  2. Lie-Gruppen, Lie-Algebren und ihre Wirkungen
  3. Jets
  4. Feldgleichungen und Variationsprinzipien, Euler-Lagrange-Gleichungen
  5. Hauptfaserbündel und homogene Räume
  6. Zusammenhänge und Krümmung
  7. Assoziieren von Bündeln
  8. Yang-Mills-Theorien
  9. Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
  10. Spinstrukturen und Spinoren
  11. Allgemeine Relativitätstheorie und die Einstein-Hilbert-Wirkung

Vorkenntnisse

Diese Pflichtvorlesung im Masterstudium der mathematischen Physik setzt eine gewisse Vertrautheit mit differentialgeometrischen Methoden wie sie etwa im Rahmen der Vorlesung Geometrische Analysis oder Geometrische Mechanik erworben werden können, voraus. Jedoch wird zu Beginn der Vorlesung eine kurze Wiederholung der nötigen Begriffe gegeben. Entsprechende Rückmeldungen vorausgesetzt, werde ich gerne die tatsächlichen Vorkenntnisse berücksichtigen. Weiter sind Kenntnisse der klassischen Feldtheorie und dabei insbesondere der Maxwellschen Theorie des Elektromagnetismus von großem Vorteil, jedoch nicht unbedingt erforderlich.

Einführende Literatur

Die Literaturliste ist sehr umfangreich, vieles ist nur als Hintergrundinformation gedacht. Hier findet sicher jede etwas nach ihrem Geschmack. In der Vorlesung werde ich noch detailliertere Kommentare zu den einzelnen Büchern geben, welches für welchen Zweck nützlich ist.

Termine

Links

Auf WueCampus gibt es einen Kurs zu dieser Vorlesung. Dort finden Sie zukünftig weitere Informationen und Ankündigungen.


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