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Differentialgeometrie

Vorlesung Wintersemester 2014/2015


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Aktuelles

Erste Übungsaufgaben online in WueCampus

Beginn der Übungen in der ersten Woche am 7. Oktober: Kurze Wiederholung von Konzepten der mengentheoretischen Topologie, die wir in der Differentialgeometrie brauchen werden.

Vorläufiges Programm

Die Vorlesung richtet sich zunächst an Studierende des Masterprogramms in Mathematik, kann auch gewinnbringend von Studierenden der Masterprogramme Physik oder Mathematische Physik besucht werden.

Diese Mastervorlesung stellt eine erste Einführung in die Differentialgeometrie dar. Behandelt werden differenzierbare Mannigfaltigkeiten als geometrische Objekte in einem intrinsischen Zugang. In dieser Vorlesung wird ein großer Wert auf den globalen Kalkül auf Mannigfaltigkeiten gelegt und aufgezeigt, wie der koordinatenlastige Kalkül dadurch gewinnbringend ersetzt werden kann. Wir werden allgemeine Vektorbündel kennenlernen. Die Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten wird in zwei Zugängen vorgestellt: mit und ohne Orientierung. Im orientierten Fall ergeben sich wichtige Verbindungen zu verschiedenen Kohomologie-Theorien. Wenn die Zeit es zuläßt, werden wir noch eine Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen geben.

Diese Vorlesung wird im darauffolgenden Sommersemester eine Fortsetzung finden: hier gibt es je nach Interessenlage verschiedene Optionen: geometrische Mechanik, komplexe Differentialgeometrie, Riemannsche und Pseudo-Riemannsche Geometrie, symplektische und Poisson-Geometrie, Geometrie der Hauptfaserbündel und einiges anderes mehr. Gleichzeitig dient diese Vorlesung auch als Grundlage für verschiedene weitere Masterveranstaltungen wie Arbeitsgemeinschaften und Seminare. Schließlich ist diese Vorlesung gerade auch für Studierende der mathematischen Physik interessant, da (je nach Dozent) die Vorlesung "Analysis und Geometrie klassischer Systeme" von differentialgeometrischen Methoden stark Gebrauch macht. Die allgemeine Relativitätstheorie ist natürlich ebenfalls eine Vorlesung, die auf differentialgeometrischen Methoden beruht, ART ist gewissermaßen die Physik der Raumzeit und damit intrinsisch eine geometrische Theorie.

  1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
  2. Vektorbündel und ihre Schnitte
  3. Kalkül auf Mannigfaltigkeiten
  4. Integration und Kohomologie
  5. Lie-Gruppen, Lie-Algebren und ihre Wirkungen

Vorkenntnisse

Erwartet werden gute Kenntnisse in den Bachlor-Veranstaltungen zu Analysis und linearer Algebra. Hier werden wir insbesondere Ergebnisse der mutlilinearen Algebra benötigen (und gegebenfalls bei Bedarf schnell nachholen). Die Vorlesung "Geometrische Analysis" ist gewissermaßen eine mögliche Motivation: dort werden Mannigfaltigkeiten als Untermannigfaltigkeiten betrachtet, wir werden jetzt einen intrinsischen Standpunkt einnehmen. Notwendig zum Verständnis dieser Vorlesung ist die "Geometrische Analysis" jedoch nicht. Eine gewisse Vertrautheit mit den grundlegenden Begriffen der mengentheoretischen Topologie ist nützlich, wird aber gegebenenfalls auch wiederholt.

Einführende Literatur

Die Literaturliste ist sehr umfangreich, vieles ist nur als Hintergrundinformation gedacht. Hier findet sicher jede etwas nach ihrem Geschmack. In der Vorlesung werde ich noch detailliertere Kommentare zu den einzelnen Büchern geben, welches für welchen Zweck nützlich ist.

Termine

Links

Auf WueCampus gibt es einen Kurs zu dieser Vorlesung. Dort finden Sie zukünftig weitere Informationen und Ankündigungen.


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