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Geometrische Mechanik

Vorlesung Sommersemester 2015


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Aktuelles

Vorläufiges Programm

Die Vorlesung richtet sich zunächst an Studierende des Masterprogramms in Mathematik sowie in Mathematischer Physik.

Diese Mastervorlesung stellt eine Einführung in die geometrische Mechanik dar. Hier wird die klassische Newtonsche Mechanik mit differentialgeometrischen Methoden formuliert und im Kontext der symplektischen Geometrie untersucht. Zentral wird der Hamiltonsche Zugang zur Mechanik sein, der auf dem Kotangentenbündel des Konfigurationsraums zu Hause ist. Der aus der Physik eventuell besser bekannte Lagrangesche Ansatz wird differentialgeometrisch das Tangentenbündel erfordern. Wir werden diese beiden Sichtweisen sowie viele weitere, übergeordnete Aspekte der geometrischen Mechanik im Detail kennenlernen und anwenden. Es wird sich so insbesondere auch ein Hamiltonscher Blick auf die Riemannsche Geometrie ergeben, die den geodätischen Fluß auf einem Konfigurationsraum als einen Hamiltonschen Fluß zur kinetischen Energie auf dem Kotangentenbündel liefert. Eine große Rolle in der Theorie spielen die Symmetrien, welche über das Noether-Theorem zu Erhaltungsgrößen führen. Geometrisch werden Symmetrien durch Gruppenwirkungen von Lie-Gruppen implementiert, Erhaltungsgrößen beschreibt man dann durch Impulsabbildungen. Das Festlegen der Erhaltungsgrößen auf gewisse Werte vereinfacht die Bewegungsgleichungen und entspricht geometrisch einer Phasenraumreduktion. Eine wesentliche Erweiterung der geometrischen Mechanik ergibt sich schließlich, wenn man symplektische Phasenräume durch allgemeine Poisson-Mannigfaltigkeiten ersetzt.

  1. Kurze Wiederholung Differentialgeometrie
  2. Symplektische Geometrie
  3. Lie-Gruppen und Gruppenwirkungen
  4. Poisson-Geometrie

Vorkenntnisse

Diese Vorlesung ist in gewisser Hinsicht eine Fortsetzung der letztsemestrigen Differentialgeometrie. In dieser Vorlesung wird eine gewisse Vertrautheit mit den grundlegenden Begriffen der Differentialgeometrie vorausgesetzt, etwa im Umfang der ersten drei Kapitel des dortigen Skripts. Weiter ist ein hinreichendes Interesse an den physikalischen Aspekten der Mechanik nützlich, aber nicht zwingend erforderlich.

Einführende Literatur

Die Literaturliste ist sehr umfangreich, vieles ist nur als Hintergrundinformation gedacht. Hier findet sicher jede etwas nach ihrem Geschmack. In der Vorlesung werde ich noch detailliertere Kommentare zu den einzelnen Büchern geben, welches für welchen Zweck nützlich ist.

Termine (vorläufig!)

Bei Überschneidungen mit anderen Veranstaltungen bitte bald melden!

Links

Auf WueCampus gibt es demnächst einen Kurs zu dieser Vorlesung. Dort finden Sie zukünftig weitere Informationen und Ankündigungen.


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