Logo

Themen am Lehrstuhl X (Mathematische Physik)

Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung

Warum mathematische Physik?

Die mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation ebenso wie ihre Anwendung aus den verschiedensten Bereichen der Physik beziehen. Dabei kommen, entsprechend den physikalischen Anforderungen, die unterschiedlichsten Techniken und Disziplinen der Mathematik zum Einsatz.

Mathematische Physik

Sicherlich naheliegend sind die angewandteren Bereiche der Mathematik: zum einen benötigt man ausgefeilte statistische Methoden, um den zum Teil erheblichen Datenmengen moderner physikalischer Experimente Herr zu werden. Zum anderen müssen physikalische Fragestellungen modelliert und simuliert werden, was ebenfalls die angewandte Mathematik mit numerischen und anderen computergestützten Verfahren auf den Plan ruft. Die konkreten Beispiele hierfür sind vielfältig.

Vielleicht etwas weniger offensichtlich ist, dass auch die reine Mathematik in der mathematischen Physik eine zentrale Rolle spielt. Viele physikalische Theorien entziehen sich (zumindest momentan) einer experimentellen Überprüfung. Eine Methode,trotzdem sinnvolle Dinge über derartige Theorien aussagen zu können, ist dann, ihre konzeptionelle Struktur zu analysieren. Hier hat man es dann schnell mit strukturellen Fragestellungen zu tun, die ihrer Natur nach sehr tief in der reinen Mathematik anzusiedeln sind. Unter dieser Sorte von Fragestellungen sind differentialgeometrische (in der klassischen geometrischen Mechanik) und funktionalanalytische (in der Quantentheorie) sicherlich die naheliegenderen. Aber auch rein algebraische und nicht zuletzt sogar zahlentheoretische Überlegungen spielen beim Verständnis moderner physikalischer Theorien eine wichtige Rolle.

Mathematische Physik

Das reizvolle an der mathematischen Physik ist nun, dass man zum einen sicher sein kann, nicht-trivialen Fragestellungen zu begegnen, da diese ja mehr oder weniger unmittelbar aus der Physik entspringen und daher auf jeden Fall ihre Relevanz besitzen, mitunter eben konkrete Probleme der Naturwissenschaft darstellen. Zum anderen kann man sich bei der Beschäftigung mit einem Problem der mathematischen Physik vielerlei durchaus verschiedener Disziplinen der Mathematik bedienen. Dies ist dann auch inner-mathematisch von großem Interesse, da oftmals der wesentliche Fortschritt in der Wissenschaft an den Grenzflächen zwischen verschiedenen Teilgebieten stattfindet. So werden beispielsweise funktionalanalytische Fragestellungen der Physik plötzlich von einem geometrische Blickwinkel aus betrachtet und geometrische Probleme beinhalten reiche algebraische Strukturen, die ihrerseits neue physikalische Interpretationen erlauben. Für die mathematische Physik ist dieser interdisziplinäre Charakter quasi von Anfang an Bestandteil der Konstitution. Damit wird aber auch eine hohe Flexibilität und die Bereitschaft, sich neue Techniken und mathematische Teildisziplinen zu erschließen, fester Bestandteil des alltäglichen Arbeitens in der mathematischen Physik.

Die strukturelle Analyse von physikalischen Theorien mit Hilfe der mathematischen Physik schließt immer auch gewisse philosophische Aspekte mit ein: man wird schnell an Fragen herangeführt, die sich mit der Bewertung einer Theorie im Lichte der Erkenntnistheorie auseinandersetzen. Fragen nach der Vorhersagekraft, der Konsistenz und der Interpretation eines mathematischen Modells in der physikalischen Theorie sind hierfür typische Aufgabenstellungen.

Mathematische Physik am Lehrstuhl für Mathematik X (Mathematische Physik)

Unsere Arbeitsgruppe arbeitet weitgehend in der reinen Mathematik mit Fragestellungen aus der klassischen geometrischen Mechanik sowie der Quantentheorie. Insbesondere sind wir am Übergang von klassischer Physik zur Quantenphysik interessiert. Etwas unpräzise und pauschal wird dieser Übergang auch als Quantisierung bezeichnet, obwohl es hierfür weder einen gemeinhin akzeptierten Weg noch allgemein anerkannte Anforderungen an einen solchen gibt. Dies macht diese Thematik ein ideales Betätigungsfeld für die mathematische Physik, welche hier mit präziser Strukturanalyse der vorhanden physikalischen Ideen die eigentliche Fragestellung herausarbeiten und Vorschläge zu ihrer Lösung in Form von Existenz- und Klassifikationsresultaten geben kann. Erkenntnistheoretische Fragen schließen sich hier unmittelbar an: wieviel können wir aus dem Verständnis der klassischen Welt in die realistischere, in der Natur vorliegende Quantenwelt übertragen, wieviele Wahlen und Ungewissheiten müssen und dürfen wir in Kauf nehmen, um noch einen aussagekräftige Naturbeschreibung zu erzielen.

Mathematische Physik

Die klassische Seite wird vor allem mit der differentialgeometrischen Sprache der geometrische Mechanik modelliert. Der Ausgangspunkt ist daher eine symplektische Mannigfaltigkeit als Phasenraum, der die Kinematik des klassischen Systems beschreibt. Da zunächst nur die Poisson-Klammer als wesentlichen Strukturmerkmal benutzt wird, lässt sich die symplektische Mannigfaltigkeit auch etwas allgemeiner durch eine Poisson-Mannigfaltigkeit ersetzen. Auf algebraischer Seite wird die Funktionenalgebra der (glatten) Funktionen auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit also zu einer Poisson-Algebra. Dies entspricht der klassischen Observablenalgebra.

Um die Quantenversion eines klassischen Systems zu verstehen, wählt man ebenfalls den Zugang über die Observablen. Diese bilden algebraisch eine *-Algebra, die nun aber nicht länger kommutativ ist. Vielmehr spiegeln sich in den Vertauschungsrelationen der Elemente der quantenmechanischen Observablenalgebra direkt die dem Experiment entnommenen Unschärferelationen der Quantentheorie wieder. Eine rein algebraische Beschreibung bleibt aber unvollständig, da für die Quantenphysik zudem die Spektren der Observablen und das Superpositionsprinzip von Zuständen mathematisch implementiert werden müssen. Um dies nun auf zufriedenstellende Weise zu erreichen, benötigt man verschiedenste Künste aus der Funktionalanalysis und dort insbesondere aus der Theorie der Operatoralgebren. Im Idealfall erhält man am Ende der Bemühungen eine C*-Algebra als Observablenalgebra zusammen mit einem guten Verständnis ihrer Darstellungstheorie durch Operatoren auf einem Hilbert-Raum.

Eine Möglichkeit, aus einer klassischen Observablenalgebra nun einen Kandidaten für die Observablenalgebra der Quantentheorie zu gewinnen, besteht in der Deformation des Algebraprodukts: hier wird auf dem selben Vektorraum der klassischen Observablen ein neues, nun vom Planckschen Wirkungsquantum ℏ abhängigen, nichtkommutatives Produkt gesucht. Dieses soll der quantenmechanischen Multiplikationsvorschrift entsprechen. Der große Vorteil dieser Herangehensweise ist es nun, dass die physikalische Interpretation der Observablen auf der Quantenseite trivialerweise vorhanden ist: es sind schlicht die selben Observablen wie in der klassischen Theorie. Gerade dieser Aspekt ist in der Quantentheorie im allgemeinen keineswegs trivial. Es ist typischerweise nicht einfach zu sagen, welcher Operator nun welcher physikalischen Observable (also welcher Meßvorschrift) entspricht. Der Preis ist natürlich, dass man nun eine typischerweise recht komplizierte neue Multiplikation, das Sternprodukt, zu verstehen hat.

Die wesentlichen Anforderungen an ein Sternprodukt sind nun, dass es assoziativ ist, da die Operatormultiplikation dies sicherlich ist, und dass es den korrekten klassischen Limes besitzt, sich für ℏ = 0 also auf das klassische, kommutative Produkt reduziert. Weiter soll in erster Ordnung von ℏ der Kommutator im Limes zur klassischen Poisson-Klammer werden. Dies ist eine Kompatibilität, die der Zeitentwicklung geschuldet ist, welche ja auf klassischer Seite mittels der Poisson-Klammer, auf quantentheoretischer Seite durch den Kommutator kodiert wird.

Die Deformationsquantisierung versucht nun, diese physikalisch motivierten Anforderungen mathematisch umzusetzen. Hier gibt es verschiedene Zugänge, der einfachste geschieht, indem man das zu findende Sternprodukt als formale Potenzreihe in ℏ ansetzt. Physikalisch ist dies sicher nicht der Weisheit letzter Schluss, stellt aber ein mathematisch einfach zu handhabendes Modell dar. Die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften der formalen Sternprodukte erfolgt dann zu einem späteren Zeitpunkt. Es stellen sich nun die Fragen nach der Existenz und der Klassifikation von solchen formalen Sternprodukten. Hier gibt es mittlerweile eine sehr schöne und weitreichende Theorie: sowohl die Existenz auf allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeiten ist gesichert also auch die Klassifikation verstanden.

In unserer Arbeitsgruppe beschäftigen wir uns mit verschiedenen weiterführenden Themen in der Deformationsquantisierung. Diese seien hier kurz skizziert. Eine deutlich umfangreichere Einführung in die Deformationsquantisierung findet sich im Lehrbuch Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Etwas aktueller sind verschiedene Übersichtsartikel.

Bachelorarbeiten

Bachelorarbeiten im Studiengang Mathematik ebenso wie im Studiengang Mathematische Physik stellen noch keine eigenständige wissenschaftliche Arbeit dar. Vielmehr geht es darum, ein bekanntes Resultat mit eigenen Worten gut darzustellen und vielleicht mit einem eigenen Beispiel zu illustrieren.

Die Deformationsquantisierung bietet interessante Probleme aus verschiedensten Bereichen der Mathematik. Für uns vor allem interessant sind die Differentialgeometrie, Funktionalanalysis und Algebra. Interessenten sollten in wenigstens einem dieser Gebiete einschlägige Vorlesungen besucht haben und eventuell auch an Seminaren teilgenommen haben. Im einzelnen sind dazu folgende Veranstaltungen sinnvoll:

Generell gilt, dass ein gewisses Interesse an der physikalischen Motivation der Fragestellungen vielleicht nicht zwingend erforderlich ist, aber trotzdem eine enorme Hilfe darstellt. Aus diesem Grunde ist es sicher sehr nützlich, einige Veranstaltungen in theoretischer Physik, wie etwa die Vorlesungen Theoretische Mechanik und Quantenmechanik oder auch Quantenfeldtheorie, besucht zu haben.

Das genaue Thema einer Bachelor-Arbeit wird dann je nach Interessenlage und Vorkenntnissen individuell abgesprochen.

Masterarbeiten

Auch Masterarbeiten werden an unserem Lehrstuhl X sowohl für das Masterprogramm Mathematik als auch für das Masterprogramm Mathematische Physik angeboten und betreut.

Anders als bei einer Bachelor-Arbeit besteht bei einer Master-Arbeit ein gewisser wissenschaftlicher Anspruch, der eine größere Eigenständigkeit erfordert und ein forschungsnäheres Arbeiten ermöglicht. Es wird zwar auch hier kein neues wissenschaftliches Resultat erwartet, jedoch bieten die Themen einer Master-Arbeit oftmals die Möglichkeit zu einem solchen. Wie bei einer Bachelor-Arbeit ist aber auch in der Master-Arbeit die Betreuung sehr intensiv. Eine aktive Teilnahme am Abteilungsleben und insbesondere am Oberseminar Deformationsquantisierung wird erwartet.

Als Vorkenntnisse sollten im Grundstudium ähnliche Veranstaltungen wie bereits bei einer Bachelor-Arbeit besucht worden sein. Eine Vertrautheit mit differentialgeometrischen Methoden ist vermutlich für alle Aufgabenstellungen von Nöten, Interesse an algebraischen und/oder funktionalanalytischen Techniken ist hilfreich. Wie auch bei einer Bachelor-Arbeit gilt, dass ein prinzipielles Interesse an den physikalischen Motivationen eine große Hilfe darstellt, was eine gewisse Kenntnis der physikalischen Herkunft der Fragestellungen voraussetzt. Im Einzelnen sind folgende Veranstaltungen im Master-Studium sinnvoll:

Das genaue Thema einer Master-Arbeit wird dann je nach Interessenlage und Vorkenntnissen individuell abgesprochen.

Promotion

Eine Promotion an unserem Lehrstuhl erfordern zunächst eine deutlich überdurchschnittliche Studienleistung. Nur so ist man befähigt, in dem vielfältigen und anspruchsvollen Gebiet der Deformationsquantisierung eigenständige und neue Forschungsbeiträge zu leisten: bei einer Promotion ist es Aufgabe, sowohl an der Problemstellung selbst als auch an ihrer anschließenden Lösung konkret mitzuwirken. Es gibt kein strikt vorgegebenes Thema sondern eine Anregung, einen Vorschlag, ein Themenfeld. Die Ausführung und die Umsetzung sind dann Sache der Doktorandin oder des Doktoranden. Eine tiefergehende Vertrautheit mit Methoden der Differentialgeometrie, der Funktionalanalysis oder der Algebra wird hierbei ebenso erwartet wie ein größeres Interesse an physikalisch motivierten Fragestellungen.


Valid CSS level 2.1! Valid XHTML 1.0 Transitional Impressum und Datenschutz