Matthias Schötz, Dr.

*-Algebren und nichtkommutative reell-algebraische Geometrie:

Ich untersuche die Struktur von *-Algebren von im Allgemeinen unbeschränkten Operatoren, insbesondere in Hinsicht auf ihre Anwendungen zur Modellierung von Observablenalgebren der Quantenphysik. Die nichtkommutative reell-algebraische Geometrie liefert die passenden Methoden hierfür: Während die klassische, "kommutative" reell algebraische Geometrie sich mit geordneten kommutativen Algebren und ihren Darstellungen als Algebren von Funktionen befasst (z.B. als polynomiale Funktionen auf einer algebraischen Menge), erweitert die nichtkommutative reell algebraische Geometrie den Blickwinkel auf geordnete *-Algebren und ihre Darstellungen durch Operatoren auf Hilberträume (z.B. als Produkte der aus der Quantenmechanik bekannten Orts- und Impulsoperatoren). Diese Sichtweise auf Operatoralgebren ist gleichzeitig auch eine Verallgemeinerung der Theorie von C*-Algebren, die den Spezialfall der vollständigen beschränkten geordnete *-Algebren mit abgeschlossenen positiven Elementen darstellen. Konkret befasse ich mich zur Zeit vor allem mit zwei Problemstellungen:

• Wie lassen sich Resultate der klassischen reell algebraischen Geometrie (z.B. Positivstellensätze und Nullstellensätze) vom kommutativen auf den nichtkommutativen Fall (z.B. auf universelle Einhüllende von Lie-Algebren) übertragen? Hierfür benötigt man zum einen eine sinnvolle Definition von "irreduziblen integrierbaren *-Darstellungen", die das nichtkommutative Analogon eines Punktes einer algebraischen Menge darstellen. Für die universelle Einhüllende von Lie Algebren sind (irreduzible) integrierbare *-Darstellungen ein seit langem etabliertes Konzept, für noch allgemeinere Beispielklassen ist die sinnvolle Definition von "integrierbaren *-Darstellungen" jedoch noch unklar. Zum anderen müssen fundamentale Konzepte der klassischen reell algebraischen Geometrie (z.B. das reelle Spektrum) auf den nichtkommutativen Fall verallgemeinert werden, oder wir müssen einen Weg finden die nichtkommutativen Probleme auf bereits gelöste kommutative Fälle zurückzuführen.

• Wie lässt sich die allgemeine Theorie auf Probleme aus der "Praxis" (d.h. theoretische/mathematische Physik oder nichtkommutative Optimierung) anwenden? *-Algebraische Methoden haben eine lange Tradition in der mathematisch rigorosen Modellierung von Quantensystemen und eignen sich insbesondere zur Beschreibung von Spingitttern (translationsinvariante Gitter mit je einem endlichen Quantensystem an jedem Gitterpunkt, also z.B. Festkörper bestehend aus einem Gitter von Atomen). Für explizite Berechnungen werden in der Praxis aber meist andere Methoden angewandt, z.B. Monte-Carlo Methoden oder ad-hoc Approximationen durch endliche Systeme. Diese Methoden machen typischerweise die Annahme zusätzlicher Randbedinungen notwendig (z.B. periodische Randbedingungen für endliche Gitter), mit nicht immer klaren Auswirkungen auf das Ergebnis, insbesondere hinsichtlich spektraler Eigenschaften. Die nichtkommutative reell algebraische Geometrie und resultierende Techniken zur nichtkommutativen Optimierung ergänzen die etablierte *-algebraische Quantenphysik und erlauben die explizite Berechnung von z.B. Grundzustandsenergien, Erwartungswerte von Observablen im Grundzustand oder im thermischen Gleichgewicht, oder auch von Spektrallücken.

Aktuelles Semester (SS 2020):
Mathematik für Wirtschaftswissenschaft 1 & 2 (Differentialrechnung & Lineare Algebra)