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  • Studierende im Hörsaal
Zahlentheorie

Lehrveranstaltungen

Winter semester 2019/20

Elementare Zahlentheorie (Lehramt für Grund-, Mittel- und Realschule)

Dozent: Jörn Steuding

Vorlesungen: Mo 8-10, Mi 10-12 S0.108

Übungen in Gruppen: Do 12-14 S0.103, 14-16 S1.101, 16-18 S0.101; Fr 10-12 S0.106

Literatur:

  • Appell, Appell: Mengen-Zahlen-Zahlbereiche, Spektrum 2005
  • Oswald, Steuding: Elementare Zahlentheorie, Springer 2015 (über die Bibliothek als E-Book erhältlich)

Zahlentheorie / Number Theory (Master)

Lecturer: Jörn Steuding

Lectures: Di/Tuesday 8-10, Do/Thursday 16-18 SE 40

Tutorials: Mo/Monday 12-14, SE 30

Literature:

  • Huxley: The distribution of prime numbers, Oxford, 1972
  • Fröhlich, Taylor: Algebraic Number Theory, Cambridge 1993
  • Cohen: Number Theory, vol. 2, Springer 2007

Sommersemester 2019

08 053150 Research in Groups: Number Theory and Quantum Computing

Lecturer:  Jörn Steuding

Dates:  Mo 14-16, Tu 10-12, SE 30,

We begin:   Mo, 29 April 2019, 14:15 a.m.

Short summary: The very first investigations on the role of quantum mechanics in the theory of computations are due to Paul Benioff and Richard Feynman in the 1980s and led to the idea of a quantum computer. Their computing power would rely on the laws of quantum mechanics and the entanglement of quantum states would yield something which is best compared with operating many classical computers parallel. Although this thought experiment may have been considered as utopian science fiction in the very beginning, recent progress on both, theoretical and practical details since the 1990s has turned this topic into a vivid branch of modern research in computer science and mathematics. Now it is clear that the realization of such a quantum device would outshine classical computers in many real-life applications, e.g., in cryptography. The probably most striking example is Peter Shor's quantum algorithm for factoring large integers (for which he was awarded the Nevanlinna Prize at the International Congress of Mathematicians in Berlin in 1998) which would make classical cryptosystems (as, for example, the widely used RSA) attackable. Of course, this weakness has ever since this discovery been the starting point of research for secure cryptosystems even under the rule of quantum computers. With so-called quantum error-correcting codes there are also unrestricted positive examples of quantum computation. In the course, we shall first recall some basics from (elementary) number theory (e.g., the Euclidean algorithm and continued fractions), elliptic curves (the group law for curves over finite fields), and classical cryptography (including the Diffie-Hellman key exchange, ElGamal, RSA, and zero knowledge); then we proceed with an introduction to quantum computation (which relies essentially on linear algebra and the theory of Hilbert spaces) and discuss quantum algorithms as, for example, the aforementioned Shor's factoring algorithm (and the algorithms of Deutsch and Jozsa). Finally, we present recent ideas about a post-quantum cryptosystem due to Luca De Feo, David Jao and Jérôme Plût that relies on the arithmetic of elliptic curves and some graph theory.

References:

  • Yorick Hardy and Willi-Hans Steeb, Classical and Quantum Computing, Birkhäuser 2001
  • Neal Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer, 2nd ed. 1994
  • Arthur O. Pittenger, An Introduction to Quantum Computing Algorithms, Birkhäuser 2000

0800220 Einführung in die Zahlentheorie

0800225 Übungen zur Einführung in die Zahlentheorie

Dozent:  Jörn Steuding

Zeit und Ort:  Vorlesung: 4 St., Mi+Do 10-12, HS A in der Chemie; Tutorien: 2 St., Mo 10-12, 12-14, Di 10-12, S0.106, 14-16, S0.107

Beginn:  Mi, 26. April 2019, 10:15 Uhr

Kurze Inhaltsangabe: Zahlentheorie ist eine traditionsreiche Disziplin mit vielen modernen Facetten und Anwendungen (z.B. in Kryptographie). Sie befasst sich mit den arithmetischen Eigenschaften der ganzen und rationalen Zahlen (und auch anderen "Arten" von Zahlen). In dieser Einführung behandeln wir die Fundamente der klassischen Zahlentheorie: elementare Teilbarkeitseigenschaften, modulare Arithmetik, Struktur der Restklassenringe, das quadratische Reziprozitätsgesetz, Kreisteilung, diophantische Approximation und diophantische Gleichungen, quadratische Formen, Gitter sowie Fragen zur Verteilung der Primzahlen. In der Vorlesung werden auch einige bekannte offene Vermutungen vorgestellt.

Literaturauswahl: Wie ein Spaziergang in die Bibliothek beweist, gibt es sehr gute Literatur zur Zahlentheorie:

  • A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers, Cambridge University Press 1984. (Kurz, prägnant und elegant!)
  • P. Bundschuh, Einführung in die Zahlenthorie, Springer 2002, 5. Auflage. (Standardwerk der deutschsprachigen Literatur mit vielen historischen Bemerkungen!)
  • G.H. Hardy & E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1979, 5th ed. (Der Klassiker, der fast alles enthält!)
  • M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet 2008. (Sehr ansprechende moderne Darstellung aus einer interessanten Perspektive!)
  • N. Oswald, J. Steuding, Elementare Zahlentheorie, Springer 2014
  • W. Scharlau & H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer 1980. (Eine historisch motivierte Einführung!)
  • J. Steuding, Diophantine Analysis , CRC-Press/Chapman Hall 2005.
  • J. Steuding, Einführung in die Zahlentheorie, Kurzskript der Vorlesung 2013
  • J. Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg 1996.(Betont all die wichtigen Bezüge zur Algebra!)

Wintersemester 2018/19

08 030900 Number Theory

Lecturer: Jörn Steuding

Dates:  4 h lectures: Tu 8-10, Th 16-18, SE 40, and 2 h tutorials: Mo 12-14, SE 30

We begin   Tu, 16 October 2018, 8:15 a.m.

Short summary: We shall study three not unrelated topics, namely the number theory of quaternions (following Hurwitz's booklet), the notion of Schnirelmann density with applications to sums of squares and Waring's problem, and, last not least, the celebrated prime number theorem (which we shall prove by elementary means).

References:

  • H. Halberstam, K.F. Roth: Sequences, Oxford Clarendon Press, 1966
  • G.H. Hardy. E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science Publications 1979, 5th ed.
  • A. Hurwitz: Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen, Springer 1919

 

 

08 004650 Seminar Mathematische Logik

Dozent: Jörn Steuding

Wo und wann:  Seminar: 2 St. Do 10-12, S0.101 

Start:  18. Oktober 2018

Zum Inhalt: In dem Seminar soll in die Mathematische Logik eingeführt werden. Zuerst behandeln wir formale Systeme (Aussagenlogik und Prädikatenlogik erster und höherer Stufe), dann widmen wir uns der Peano-Arithmetik, der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre und steigen schließlich in die Beweistheorie ein; hier beweisen wir die Gödelschen Unvollständigkeitssätze. In der ersten Sitzung am 18. Oktober wird der historische Kontext vorgestellt. Die Vergabe der Themen zu diesem Seminar findet in der Sitzung am 25. Oktober statt.

Vorträge:

  • 18.10.: Historische Notizen, [Hoffmann, Seiten 1-70]
  • 25.10.: Themenvergabe
  • 8.11.: Formale Systeme und Entscheidungsverfahren, [71-86]
  • 15.11.: Aussagenlogik, [87-102]
  • 22.11.: Prädikatenlogik, [103-123]
  • 29.11.: Peano-Arithmetik, [134-146]
  • 13.12.: Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, [147-173]
  • 20.12.: Ordinalzahlen und Kardinalzahlen, [174-193]
  • 10.1.: Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz, [199-218]
  • 17.1.: Gödelisierung, [218-228]
  • 24.1.: Das Diagonalisierungslemma, das Wahrheitsprädikat und Berrys Paradoxon, [228-242]
  • 31.1.: Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz, [242-264]

Literatur (allesamt in der Teilbib. erhältlich):

  • D.W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, Springer, zweite Auflage 2013 (auch als ebook vorhanden!)
  • Rautenberg, Einführung in die mathematische Logik, Vieweg, dritte Auflage 2008 (auch als ebook vorhanden!)

08 02070 Analytische Geometrie (für Studierende der Lehrämter Grund-, Mittel- und Realschule)

Dozent: Jörn Steuding

Zeit und Ort:  Vorlesung (4 St.): 4 St., Di 12-14 S0.108, Mi 14-16 Turing-HS; Übungen (2 St.): 2 St., Di 10-12,14-16 ; Mi 10-12 S0.106

Beginn:  Di, 16.10., 12.15 Uhr

Kurze Inhaltsangabe: Analytische Geometrie bezeichnet jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich aus Anwendungen von Methoden der linearen Algebra ergibt. In der Vorlesung wird Geometrie in der euklidischen Ebene und im euklidischen Raum betrieben werden; insbesondere werden Kegelschnitte und Quadriken klassifiziert. Auch behandeln wir einige weitere Aspekte 'alltäglicher' Geometrie und gehen Fragen nach: wie funktioniert GPS? Was sind Sangakus?

Literaturauswahl:

  • G. Fischer, Analytische Geometrie, Vieweg 2001, 7. Aufl.
  • H. Knörrer, Geometrie, Vieweg 2006, 2. Aufl.
  • M. Koecher, A. Krieg, Ebene Geometrie, Springer 2007.
  • H. Scheid, W. Schwarz, Elemente der Geometrie, Spektrum 2008, 4. Aufl.

Vorkenntnisse: Lineare Algebra