Projekte
Projektleitung: Anton Freund
Titel: „Stetige Transformationen geordneter Mengen: Eine Brücke zwischen Ordinalzahlanalyse, reverser Mathematik und Kombinatorik“
Informationen auf GEPRIS (DFG): https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/460597863
Projektbeschreibung:
Die folgende Frage ist in verschiedenen Bereichen der mathematischen Logik von zentraler Bedeutung: Welche Axiomensysteme sind stark genug, um ein gegebenes mathematisches Theorem zu beweisen? Zusätzlich zum inhärenten intellektuellen Interesse liefert eine Antwort auf diese Frage oft weitere Informationen, etwa über die Qualität von Approximationen oder die Komplexität algorithmischer Lösungsverfahren.
Unser Projekt will die Verbindungen zwischen zwei Teilgebieten der Logik vertiefen, welche sich beide mit der obigen zentralen Frage beschäftigen: Ordinalzahlanalyse und reverse Mathematik. Als Brücke zwischen den beiden Ansätzen verwenden wir stetige Transformationen (Funktionale endlichen Typs) über den Kategorien der partiellen und linearen Ordnungen. Dies erlaubt es uns, die zentrale Frage in Fällen zu beantworten, in denen sie derzeit offen ist. Konkret wollen wir Theoreme aus der Kombinatorik analysieren, vornehmlich solche mit Verbindungen zum Satz von Kruskal, zum Graphenminorensatz und zur Theorie der Besser-Quasiordnungen. Weiter wollen wir einen allgemeinen Rahmen schaffen, in dem sich bekannte und neue Ergebnisse auf uniforme Weise erklären lassen.
Projektleitung: Anton Freund
Titel: Natürliche Beispiele für langsame Unabhängigkeitsresultate in der mathematischen Logik
Informationen auf GEPRIS (DFG): https://gepris.dfg.de/project/587206874
Projektbeschreibung:
In diesem Projekt suchen wir nach mathematisch natürlichen Beispielen für die Gödelschen Unvollständigkeitssätze, die schwächer sind, als die gegenwärtig in der Literatur untersuchten Beispiele (relativ zu bestimmten Axiomensystemen). In Anlehnung an das langsame Konsistenzprinzip von Sy Friedman, Rathjen und Weiermann (2013) bezeichnen wir solche Beispiele als langsame Unabhängigkeitsresultate. Genauer scheinen keine natürlichen Beispiele für Unvollständigkeit unterhalt des Pi02-Reflektionsprinzips von Axiomensystemen bekannt zu sein. Die Erwartung, dass es keine solchen Beispiele gibt, kann als beweistheoretische Variante der berühmten Martin-Vermutung aus der Berechenbarkeitstheorie gesehen werden. Im Erfolgsfall würde unser Projekt diese Variante widerlegen. Speziell zielen wir darauf, eine Version des Paris-Harrington-Prinzips zu finden, die echt schwächer als das klassische Prinzip aber immer noch in der Peano-Arithmetik unbeweisbar ist; wir wollen die Beweislängen bestimmen, die mit Instanzen des Graphenminorensatzes assoziiert sind; und wir wollen untersuchen, wie Phasenübergänge (im Sinn von Weiermann) und subrekursive Grade im Kontext von natürlichen Unabhängigkeitsresultaten interagieren.
