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  • Mathematische Formeln an einer Tafel
Inverse Probleme

Forschungsbereiche

Inverse Probleme sind Fragestellungen, bei denen man aus einer beobachtbaren Wirkung Rückschlüsse auf eine verborgene Ursache ziehen möchte. Dies führt zu vielfältigen Anknüpfungen innerhalb der Mathematik, aber auch zu interdisziplinären Anwendungen in der Biophysik und den Lebenswissenschaften. Forschungsschwerpunkt in unserer Arbeitsgruppe sind:

Statistische Inverse Probleme und Regularisierungstheorie:

Um ein Inverses Problem zu lösen, werden sogenannte Regularisierungsverfahren verwendet, welche einerseits an die Struktur des Problems und andererseits an die Natur der Beobachtungen, d.h. insbesondere an das unvermeidliche Rauschen, angepasst werden. Wir entwickeln und untersuchen solche Verfahren, und charakterisieren insbesondere den Einfluss des als zufällig modellierten Rauschens auf die Rekonstruktionen. Dafür wird eine Kombination verschiedenster Techniken aus der Funktionalanalysis und der Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt.

Quantifizierung von Unsicherheiten mittels multipler Hypothesentests:

Neben der Gewinnung geeigneter Rekonstruktionen sind auch qualitative Aussagen ("Inferenz") über die unbekannte Ursache von Interesse. Wir verfolgen hier das Ziel, lokale Aussagen über z.B. Homogenität oder Monotonie mittels statistischer Hypothesentests zu gewinnen. Auch hier sind wieder Techniken aus verschiedenen Bereichen der Mathematik hilfreich.

Anwendungen in den experimentellen Wissenschaften:

Neben der theoretischen Analyse von Regularisierungs- und Inferenzverfahren ist auch die numerische Umsetzung derselben sowie die Anwendung in interdisziplinären Kooperationen von Interesse. Einen unserer Forschungsschwerpunkte in diesem Bereich stellt die hochauflösende Fluoreszensmikroskopie dar, in welcher von uns entwickelte Methoden Rückschlüsse auf Ort und Anzahl vorhandener Moleküle in einer Probe erlauben.