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Mathematik in den Naturwissenschaften

Forschungsbereiche

Der  Fokus unserer Forschung liegt auf aktuellen Fragestellungen der mathematischen Analysis in den Bereichen Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen, überwiegend mit Anwendungen in den Natur- und Materialwissenschaften.
 

Variationsrechnung

In der Variationsrechnung arbeiten wir an

  1. nichtkonvexen Variationsproblemen und
  2. Grenzübergängen von diskreten zu kontinuierlichen Systemen.

Die nichtkonvexen Variationsprobleme sind dabei oft von Anwendungen in der nichtlinearen Elastizitätstheorie oder bei der Mikrostrukturbildung in Formgedächtnismaterialien getrieben. Hierfür sind Abschätzungen von quasikonvexen Funktionen von Interesse. Im Fall von kubisch-monoklinen Phasentransformationen wurden im geometrisch-linearen Fall Tripel von paarweise nicht-kompatiblen Transformationsmatrizen gefunden, die nicht-triviale Mikrostrukturbildung vorhersagen [CS]. Die Charakterisierung der symmetrischen Polykonvexität und das Beispiel einer quadratischen Funktion, die symmetrisch quasikonvex, aber nicht symmetrisch polykonvex ist [BoKS], stellen klassische Resultate der Variationsrechnung in den Kontext der geometrisch linearen Elastizitätstheorie. 

Im Hinblick auf die Existenz von Lösungen für mechanisch realistische Energien gibt [BeKS] eine Verfeinerung der Theorie von Zweite-Gradienten-Modellen, welche auf dem Begriff der Polykonvexität aufbaut. Anwendungen auf Formgedächtnismaterialien finden sich in [KPS].

Beim Übergang von diskreten zu kontinuierlichen System arbeiten wir an ein-dimensionalen Ketten von Atomen, die über nicht-konvexe Potenziale wechselwirken, welche Brüche zulassen [SSZ,ScSc]. Der Kontinuumslimes wird dabei mittels Gamma-Konvergenz-Methoden durchgeführt. In den neuesten Arbeiten konnten wir externe Kräfte [CFS] sowie Verbundmaterialien [LSS] zulassen. Weiterhin ist es möglich experimentelle Aussagen für Brüche in heterogenen Nanodrähten in einer Grenzübergang von diskreten zu kontinuierlichen Systemem zu zeigen [LPS15, LPS17].

Neue Formeln für magnetische Kräfte zwischen Körpern mit sehr kleinem Abstand leiteten wir aus einem diskreten drei-dimensionalen Modell her [S].

Stochastische Homogenisierung nichtkonvexer Variationsprobleme wird in [NSS] und [LNSS] thematisiert.

[BeKS] B. Benešová, M. Kružı́k, A. Schlömerkemper: A note on locking materials and gradient polyconvexity, Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 28 (2018), 2367–2401.

[BoKS] O. Boussaid, C. Kreisbeck, A. Schlömerkemper: Characterizations of symmetric polyconvexity, arXiv:1806.06434.

[CFS]  M. Carioni, J. Fischer, A. Schlömerkemper: External forces in the continuum limit of discrete systems with non-convex interaction potentials: Compactness for a Γ-development, arXiv:1811.09857.

[CS] I.V. Chenchiah and A. Schlömerkemper, Non-Laminate Microstructures in Monoclinic-I Martensite, Arch. Rational Mech. Anal.207, 39-74 (2013), arXiv:1201.6679 [Postprint version] [OPUS Würzburg]

[LNSS] L. Lauerbach, S. NeukammM. Schäffner and A. Schlömerkemper, Stochastic Homogenization in the Passage from Discrete to Continuous Systems - Fracture in Composite Materials, in preparation

[LSS] L. Lauerbach, M. Schäffner and A. Schlömerkemper, On continuum limits of herogeneous discrete systems modelling cracks in composite materials, GAMM-Mitt.40, 178-200 (2017)

[LPS17] G. Lazzaroni, M. Palombaro and A. Schlömerkemper, Rigidity of three-dimensional lattices and dimension reduction in heterogeneous nanowires, Discrete Contin. Dyn. Syst. S10, 119-139 (2017), arXiv:1501.07505

[LPS15] G. Lazzaroni, M. Palombaro and A. Schlömerkemper, A discrete to continuum analysis of dislocations in nanowire heterostructures, Comm. Math. Sci.13, 1105-1133 (2015), arXiv:1308.3505 [Postprint version]

[KPS] M. Kružı́k, P. Pelech, A. Schlömerkemper: Gradient Polyconvexity in Evolutionary Models of Shape-Memory Alloys, J. Optim. Theory Appl., online first 02/2019.

[NSS] S. Neukamm, M. Schäffner and A. Schlömerkemper, Stochastic homogenization of nonconvex discrete energies with degenerate growth, SIAM J. Math. Anal.49, 1761-1809 (2018), arXiv:1606.06533

[SSZ12] L. Scardia, A. Schlömerkemper and C. Zanini, Towards uniformly Gamma-equivalent theories for nonconvex discrete systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. B,17, 661-686 (2012) [Preprint version. Published by AMS. All rights reserved.]

[SSZ11] L. Scardia, A. Schlömerkemper and C. Zanini, Boundary layer energies for nonconvex discrete systems, Math. Models Methods Appl. Sci., 21, 777-817 (2011) [Postprint version. Electronic version © DOI]

[ScSc18] M. Schäffner and A. Schlömerkemper, On Lennard-Jones systems with finite range interactions and their asymptotic analysis,, Networks and Heterogeneous Media 18, 95-118 (2018), arXiv:1501.06423

[ScSc15] M. Schäffner and A. Schlömerkemper, On a Gamma-convergence analysis of a quasicontinuum method, Multiscale Model. Simul.13, 132–172 (2015), arXiv:1405.6122 [Published version]

[S] A. Schlömerkemper, Mathematical derivation of the continuum limit of the magnetic force between two parts of a rigid crystalline material, Arch. Rational Mech. Anal.176, 227-269 (2005) [Postprint version]

 

Partielle Differentialgleichungen

Das Interesse an der Theorie partielle Differentialgleichungen, die nicht die Variationsrechnung betrifft, hat sich in der Gruppe in den vergangenen Jahren deutlich verstärkt. Insbesondere beschäftigen wir uns mit Existenz- und Eindeutigkeitsfragen für Lösungen von Systemen von partiellen Differentialgleichungen, die die zeitliche Evolution magneto-viskoelastischer Materialien modellieren. Dieses System umfasst die (in)kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, eine Evolutionsgleichung für den Deformationsgradienten und die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung oder eine Gradienten-Fluss-Gleichung für die Magnetisierung [BFLS, SZ].

Ein Studium der Allen-Cahn/Cahn-Hilliard-Gleichungen im Kontext der geometrisch linearen Elastizitätstheorie lieferte erste Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen [BS].

Verfeinerte Regularitätsresultate für Lösungen der Poisson-Gleichung mit Transmissionsbedingung in nicht-glatten Gebieten wurden in [S] gezeigt.

F. De Anna arbeitet zudem an einigen analytischen Fragestellungen für Modelle aus dem Bereich der Flüssigkristalle.

J. Ratzkin ist an geometrischen Aspekten partieller Differentialgleichungen interessiert.

[BFLS] B. Benešová;, J. Forster, C. Liu and A. Schlömerkemper, Existence of weak solutions to an evolutionary model for magnetoelasticity, SIAM J. Math. Anal.50, 1200–1236 (2018), arXiv:1608.02992

[BS] T. Blesgen and A. Schlömerkemper, On the Allen-Cahn/Cahn-Hilliard-System with geometrically linear elastic energy, Proc. Roy. Soc. Edin.144, 241-266 (2014), arXiv:1202.5197 [Postprint version]

[KNS] M. Kalousek, Š. Nečasová, A. Schlömerkemper, Extensibility of a system of transport equations in the case of an impermeable boundary, arXiv:1812.03236.

[S] A. Schlömerkemper, About solutions of Poisson's equation with transition condition in non-smooth domains, Z. Anal. Anwend.27, 253-281 (2008) [MPI-MIS preprint 53/2006]

[SZ] A. Schlömerkemper, J. Žabenský: Uniqueness of solutions for a mathematical model for magnetoviscoelastic flows, Nonlinearity 31 (2018), 2989–3012.

Anwendungen in den Natur- und Materialwissenschaften

Unsere analytische Forschung wird häufig durch Fragen aus der Elastizitätstheorie [BS], Versetzungen [LPS17, RSC] und Rissen oder dem physikalischen Verhalten magnetischer Materialien [S] getrieben. Neben dem rein wissenschaftlichen Interesse konzentrieren wir uns auch auf die Weiterentwicklung intelligenter Materialien wie Formgedächtnismaterialien [FHS, KPS], Nanomaterialien [LPS17, LSS], Verbundwerkstoffe [LPS17, LSS] oder magnetoviskoelastischer Materialien [BFLS].

[BFLS] B. Benešová, J. Forster, C. Liu and A. Schlömerkemper, Existence of weak solutions to an evolutionary model for magnetoelasticity, SIAM J. Math. Anal.50, 1200–1236 (2018), arXiv:1608.02992

[BS] T. Blesgen and A. Schlömerkemper, On the Allen-Cahn/Cahn-Hilliard-System with geometrically linear elastic energy, Proc. Roy. Soc. Edin.144, 241-266 (2014), arXiv:1202.5197 [Postprint version]

[FHS] R. Fechte-Heinen, A. Schlömerkemper, About lamination upper and convexification lower bounds on the free energy of monoclinic shape memory alloys in the context of T3-configurations and R-phase formation, Cont. Mech. Thermodyn.28, 1601-1621 (2016)

[KPS] M. Kružı́k, P. Pelech, A. Schlömerkemper: Gradient Polyconvexity in Evolutionary Models of Shape-Memory Alloys, J. Optim. Theory Appl., online first 02/2019

[LPS17] G. Lazzaroni, M. Palombaro and A. Schlömerkemper, Rigidity of three-dimensional lattices and dimension reduction in heterogeneous nanowires, Discrete Contin. Dyn. Syst. S10, 119-139 (2017), arXiv:1501.07505

[LSS] L. Lauerbach, M. Schäffner and A. Schlömerkemper, On continuum limits of herogeneous discrete systems modelling cracks in composite materials, GAMM-Mitt.40, 178-200 (2017)

[RSC] C. Reina, A. Schlömerkemper, S. Conti, Derivation of F=FeFp as the continuum limit of crystalline slip, J. Mech. Phys. Solids 89 231-254 (2016), arXiv:1504.06775

[S] A. Schlömerkemper, Mathematical derivation of the continuum limit of the magnetic force between two parts of a rigid crystalline material, Arch. Rational Mech. Anal.176, 227-269 (2005) [Postprint version]

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