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Mathematik in den Naturwissenschaften

Forschungsbereiche

Der  Fokus unserer Forschung liegt auf aktuellen Fragestellungen der mathematischen Analysis in den Bereichen Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen, überwiegend mit Anwendungen in den Natur- und Materialwissenschaften.
 

In der Variationsrechnung arbeiten wir an

  1. nichtkonvexen Variationsproblemen und
  2. Grenzübergängen von diskreten zu kontinuierlichen Systemen.

Die nichtkonvexen Variationsprobleme sind dabei oft von Anwendungen in der nichtlinearen Elastizitätstheorie oder bei der Mikrostrukturbildung in Formgedächtnismaterialien getrieben. Hierfür sind Abschätzungen von quasikonvexen Funktionen von Interesse. Im Fall von kubisch-monoklinen Phasentransformationen wurden im geometrisch-linearen Fall Tripel von paarweise nicht-kompatiblen Transformationsmatrizen gefunden, die nicht-triviale Mikrostrukturbildung vorhersagen [CS]. Die Charakterisierung der symmetrischen Polykonvexität und das Beispiel einer quadratischen Funktion, die symmetrisch quasikonvex, aber nicht symmetrisch polykonvex ist [BoKS], stellen klassische Resultate der Variationsrechnung in den Kontext der geometrisch linearen Elastizitätstheorie. 

Im Hinblick auf die Existenz von Lösungen für mechanisch realistische Energien gibt [BeKS] eine Verfeinerung der Theorie von Zweite-Gradienten-Modellen, welche auf dem Begriff der Polykonvexität aufbaut. Anwendungen auf Formgedächtnismaterialien finden sich in [KPS].

Beim Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Systemen arbeiten wir an ein-dimensionalen Ketten von Atomen, die über nicht-konvexe Potenziale wechselwirken, welche Brüche zulassen [SSZ,ScSc]. Der Kontinuumslimes wird dabei mittels Gamma-Konvergenz-Methoden durchgeführt. In den neuesten Arbeiten konnten wir externe Kräfte [CFS] sowie Verbundmaterialien [LSS] zulassen. Weiterhin ist es möglich experimentelle Aussagen für Brüche in heterogenen Nanodrähten in einem Grenzübergang von diskreten zu kontinuierlichen Systemen zu zeigen [LPS15, LPS17].

Neue Formeln für magnetische Kräfte zwischen Körpern mit sehr kleinem Abstand leiteten wir aus einem diskreten drei-dimensionalen Modell her [S].

Stochastische Homogenisierung nichtkonvexer Variationsprobleme wird in [NSS] und [LNSS] thematisiert.

 

Das Interesse an der Theorie partieller Differentialgleichungen, die nicht die Variationsrechnung betrifft, hat sich in der Gruppe in den vergangenen Jahren deutlich verstärkt. Insbesondere beschäftigen wir uns mit Existenz- und Eindeutigkeitsfragen für Lösungen von Systemen von partiellen Differentialgleichungen, die die zeitliche Evolution magneto-viskoelastischer Materialien modellieren. Dieses System umfasst die (in)kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, eine Evolutionsgleichung für den Deformationsgradienten und die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung oder eine Gradienten-Fluss-Gleichung für die Magnetisierung [BFLS, SZ].

Ein Studium der Allen-Cahn/Cahn-Hilliard-Gleichungen im Kontext der geometrisch linearen Elastizitätstheorie lieferte erste Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen [BS].

Verfeinerte Regularitätsresultate für Lösungen der Poisson-Gleichung mit Transmissionsbedingung in nicht-glatten Gebieten wurden in [S] gezeigt.

F. De Anna arbeitet zudem an einigen analytischen Fragestellungen für Modelle aus dem Bereich der Flüssigkristalle.

J. Ratzkin  ist an geometrischen Aspekten partieller Differentialgleichungen interessiert.

Unsere analytische Forschung wird häufig durch Fragen aus der Elastizitätstheorie [BS], Versetzungen [LPS17, RSC] und Rissen oder dem physikalischen Verhalten magnetischer Materialien [S] getrieben. Neben dem rein wissenschaftlichen Interesse konzentrieren wir uns auch auf die Weiterentwicklung intelligenter Materialien wie Formgedächtnismaterialien [FHS, KPS], Nanomaterialien [LPS17, LSS], Verbundwerkstoffe [LPS17, LSS] oder magnetoviskoelastischer Materialien [BFLS].