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  • Mathematische Formeln an einer Tafel
Mathematische Strömungsmechanik

Forschungsbereiche

Mathematische Strömungsmechanik

Theorie der hyperbolischen Erhaltungssätze

  • Such nach einem geeigneten Lösungskonzept für die multidimensionalen kompressiblen Euler-Gleichungen
  • konvexe Integration, nicht-Eindeutigkeit für die multidim. kompressiblen Euler-Gleichungen

 

strukturerhaltende numerische Verfahren für die Eulergleichngen und die Gleichungen der ideale Magnetohydrodynamik

  • well-balanced und low-Mach-Verfahren für die Euler-Gleichungen mit Schwerkraft
  • echte multidim. Verfahren
  • strukturerhaltende kompakte Methode hoher Ordnung

 

Anwendungen in der Astrophysik

  • numerische Schemata für die Entwicklung der stellaren Struktur und Evolution
  • Simulationen der Entwicklung des Universums einschließlich magnetischer Felder

 

kinetische Gleichungen und Plasmen, Theorie und Numerik

  • mehrspezies-Modelle, Existenz und qualitatives Verhalten
  • numerische Verfahren für mehrspezies-BGK-Gleichungen auf der Grundlage eines Variationsverfahrens

 

Inverse PDE-Probleme, kinetische Modelle in der Biologie mit Koeffizienten, die durch experimentelle Daten bestimmten werden

  • Theorie: Nachweis, dass es möglich ist, bestimmte kinetische inverse PDE-Probleme zu lösen
  • Numerik: num. Verfahren zur Bestimmung der Koeffizienten aus gegebenen experimentellen Daten

 

Weitere Übersicht über die Forschungsbereiche hier

Spezialisierung der Wissenschaftlichen MitarbeiterInnen

I'm a PhD student working on developing and implementing numerical methods for conservation laws. My primary interests are in developing moving mesh methods for compressible flows in multiple dimensions. I also work on porous media flows in one dimension and uncertainty quantification for the same. My other interests are in writing efficient, parallelized and reproducible code for the aforementioned numerical methods.

In meiner Forschungsarbeit beschäftige ich mich mit Finite-Volumen-Verfahren für die kompressiblen Euler- sowie Magnetohydrodynamik-Gleichungen mit gravitativem Quellterm. Der Fokus liegt dabei auf der Entwicklung von well-balanced Verfahren, die auch für Probleme mit sehr kleinen Machzahlen genaue numerische Lösungen liefern. Praktische Anwendung finden diese Verfahren beispielsweise in der Astrophysik zur Simulation von Gasströmungen im Inneren von Sternen.

 

Mehrdimensionale kompressible Eulergleichung: Analysis und Numerik

Viele natürliche Phänomene lassen sich durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) beschreiben. Oft enthalten diese Parameter, die die allgemeine Beschreibung des Phänomens einer konkreten Situation anpassen. Die Bestimmung dieser Parameter aus experimentellen Messungen wird als inverses Problem bezeichnet und ist notwendig, um das Modell anzupassen und weiteren Prognose zu ermöglichen. 

Ich untersuche ein solches Problem der Parameteridentifikation für ein Modell zur Bewegung von Bakterien stimuliert durch ein chemisches Signal (wie etwa eine Futterquelle), was man als Chemotaxis bezeichnet. Dieses Phänomen wird oft mithilfe der kinetischen Chemotaxis-Gleichung modelliert, in welcher ein Parameter die Reaktion der Bakterien auf das chemische Signal codiert. Ich nehme an, geschwindigkeitsunabhängige Messungen der Bakteriendichte wie etwa Fotos als Daten zur Verfügung zu haben und überprüfe, ob solche Daten genug Information enthalten können, um den kinetischen Parameter zu rekonstruieren. Außerdem untersuche ich den Zusammenhang zwischen dieser Rekonstruktion und jener mittels eines makroskopischen Keller-Segel-Modells.

In meiner Forschung geht es um die numerische Lösung inverser Probleme für kinetische Gleichungen. Hierzu wollen wir den Zusammenhang zwischen kinetischen und makroskopischen Modellen nutzen. 

Außerdem sollen effiziente Algorithmen verwendet werden, welche den numerischen Aufwand reduzieren. Hierfür arbeiten wir beispielsweise mit Niedrigrang-Approximationen.

Die partiellen Differentialgleichungen (PDEs) der mathematischen Strömungsmechanik beschreiben die zeitliche Entwicklung von Fluiden. Man geht davon aus, dass mehrmaliges Wiederholen desselben Experiments mit einem realen Fluid immer zur gleichen Beobachtung führt. Diese Tatsache sollte sich auch in Form von Eindeutigkeit der Lösung im zugrundeliegenden mathematischen Modell (d.h. der zugehörigen PDE) wiederfinden. Allerdings kann man mithilfe einer Beweismethode namens "konvexe Integration" für viele Modelle der Strömungsmechanik unendlich viele Lösungen zu gegebenem Anfangsdatum konstruieren. Diese Mehrdeutigkeit stellt das hier verwendete Lösungskonzept (sog. schwache Entropie-Lösungen) infrage.

Ferner wurde mithilfe von konvexer Integration die aus der Turbulenztheorie kommende Vermutung von Onsager für inkompressible Fluide bewiesen. Dies deutet auf einen Zusammenhang zwischen Mehrdeutigkeit und Turbulenz hin.

Ziel meiner Forschung ist es ein geeignetes Lösungskonzept zu finden, insbesondere in Hinblick auf turbulente Strömungen. Dabei stellt sich die Frage, ob der Begriff der schwachen Lösung durch ein Zusatzkriterium, welches aus den vielen Lösungen eine auswählt, gerettet werden kann, oder ob stattdessen ein verallgemeinerter Lösungsbegriff betrachtet werden muss (z.B. maß-wertige Lösungen)?

Viele strömungsmechanische Probleme können mit Hilfe hyperbolischer Systeme von Erhaltungsgleichungen, z.B. den Eulerschen Gleichungen, beschrieben werden. Bei der numerischen Lösung solcher Erhaltungsgleichungen kommen häufig Finite-Volumen- und Diskontinuierliche Galerkin-Verfahren zum Einsatz. Die Active Flux Methode verbindet beide Ansätze mittels einer kontinuierlichen Lösungsrekonstruktion auf dem betrachteten Gebiet. Meine Arbeit befasst sich mit der Weiterentwicklung eines generalisierten Active Flux Verfahrens. Dieses Verfahren ermöglicht insbesondere die Lösung von Erhaltungsgleichungen im Mehrdimensionalen mit beliebig hoher Ordnung. Es wird erwartet, dass diese numerische Methode viele strukturerhaltende Eigenschaften (z. B. Erhaltung der Positivität, hohe Auflösungsgenauigkeit von Wirbeln, Eignung für niedrige Mach Zahlen bei den kompressiblen Euler-Gleichungen) aufweist.

Ehemalige Mitarbeiter

Ich beschäftige mich mit der Modellierung und der mathematischen Theorie von kinetischen Gleichungen. Ich möchte Modelle für Anwendungen entwickeln zum Beispiel im Bereich von Plasmen, Gasgemischen mit chemischen Reaktionen oder der Ausbreitung von Aerosolen. Dann beweise ich physikalische Eigenschaften der Lösung (wie Entropieungleichung, Langzeitverhalten, Grenzwert zu makroskopischen Gleichungen) und mathematische Eigenschaften wie Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.

Kinetische Gleichungen beschreiben das Verhalten von Fluiden auf mesoskopischer Ebene. Es werden neue Modelle entwickelt, sodass mehr physikalische Eigenschaften korrekt wiedergegeben werden können. Die Gleichungen werden schließlich numerisch gelöst. Speziell beschäftige ich mich mit der Numerik eines multi-Spezies BGK-Modells.

My topic of research is asymptotic preserving schemes that are stationary preserving. In this project we are curious about the relationship between asymptotic preserving schemes and stationary preserving ones. For this purpose, we picked up a well-known asymptotic preserving scheme and proved it stationary preserving as well. From the way we used to prove the stationary preserving property, we are trying to find a general concept or at least cases where one can generalize that every asymptotic preserving scheme is stationary preserving.

Was ich tue:

Ich arbeite mit Finite-Volumen-Verfahren für hyperbolische Systeme von Erhaltungsgleichungen und Balance-Gleichungen. Insbesondere betrachte ich kompressible Euler und Magnetohydrodynamik-Gleichungen mit gravitativem Quellterm. Für diese Gleichungen entwickle ich well-balanced Verfahren und numerische Flussfunktionen, die für kleine Machzahlen geeignet sind.

Was ich Nichtmathematikern erzähle, wenn sie mich fragen, was ich tue:

Astrophysiker fragen sich, wie genau sich Gas im Inneren von Sternen bewegt. Dafür verwenden sie Computersimulationen. Unglücklicherweise neigen konventionelle Simulationstechniken für diese Anwendung dazu, in zwei entscheidenden Punkten zu versagen: Erstens sind diese Methoden nicht in der Lage, die grundlegende Struktur des Sternes zu erhalten, so dass das Gas in das Zentrum des Sternes fällt oder sich davon weg bewegt, obwohl dies falsch ist. Zweitens ist es besonders schwer, langsame Gas-Strömungen korrekt zu simulieren. Ich versuche Verfahren zu entwickeln, die diese Probleme lösen.


Meine Forschung fokussiert sich darauf, die Entwicklung numerischer Methoden um Strömungsmechanische Prozesse im Kontext astrophysikalischer Phänomene zu simulieren. Hier handelt es sich zum Beispiel um die Simulation stellarer Atmosphären oder des Verhaltens von Gas in Galaxien. Die numerischen Methoden die ich hierzu verwende sind Finite-Volumen oder diskontinuierliche Galerkin Methoden. Im Speziellen erarbeite ich sogenannte Well-Balanced und Asymptotic-Preserving Methoden um den Herausforderungen des physikalischen Regimes der astrophysikalischen Anwendung gerecht  zu werden. Insbesondere bin ich spezialisiert in der Anwendung der Relaxationsmethode um robuste und stabile Verfahren zu entwickeln.