Quadratzahlen erforschen - Mathematische Hintergründe

Wenn man von dem ersten Faktor einer Quadrataufgabe eine Zahl abzieht und diese Zahl zu dem zweiten Faktor addiert, ist das Ergebnis um das Quadrat der Zahl kleiner als das der Quadrataufgabe. Beispielsweise ist (7 - 3) · (7 + 3) = 40 um 3² = 9 geringer als

7 · 7 = 49.

Im Folgenden wird dies mathematisch begründet.

Eine Möglichkeit, die Entdeckung zu erklären, bietet die Einmaleins-Tafel. Die Einmaleins-Tafel ist quadratisch und jeweils in der oberen Randzeile sowie der linken Randspalte stehen die Zahlen von eins bis zehn. Diese Randzahlen fungieren als Faktoren. In den einzelnen Zellen der Tabelle findet sich jeweils das Produkt aus den Faktoren im Schnittpunkt einer Zeile mit einer Spalte (Krauthausen, 2018, S. 72).

Bei dieser Version sind die Quadratzahlen dunkelblau gefärbt. Sie befinden sich auf der diagonalen Achse, die die Ergebnisse spiegelt (Kramer, 2016, S. 33). Außerdem sind die Zahlen, die von der Quadratzahl schräg nach rechts oben stehen, in einem helleren blau gefärbt. Wiederum heller wird es, wenn man weiter schräg nach rechts oben wandert. Dies setzt sich fort, bis die Tabelle endet. Die Färbungen finden sich entsprechend der gespiegelten Ergebnisse jeweils auch schräg nach links unten. Wenn man sich von der Quadratzahl um einen Schritt diagonal nach rechts oben oder links unten entfernt, fällt auf, dass das Ergebnis um eins kleiner ist. Bei zwei Schritten verringert sich das Ergebnis um 2², bei drei Schritten um 3² und so weiter (ebd., S. 59). Die Malaufgabe ändert sich um ± 1 bei einem Schritt, um ± 2 bei zwei Schritten, um ± 3 bei drei Schritten und so weiter. Dies passt zur anfangs beschriebenen Entdeckung. Man kann die Behauptung, dass das Ergebnis einer Quadrataufgabe a · a um b² kleiner wird, wenn man einen Faktor a um b erhöht und den anderen Faktor a um b verringert also anhand der Einmaleins-Tafel gut nachvollziehen.

Eine weitere Erklärung der Entdeckung bietet das Punktefeld. Zunächst wird die Quadrataufgabe mit Plättchen gelegt. Durch das Verschieben der untersten Plättchen-Reihe nach rechts, also das Verändern der Faktoren um ± 1, entsteht das Rechteck der Partneraufgabe. Es fällt auf, dass ein Plättchen übrig bleibt.

Mit dem Punktefeld lässt sich beispielhaft die Entdeckung erklären. Auch für eine Veränderung der Faktoren um ± 2, ± 3 und so weiter kann man das Punktefeld nutzen.

Formal lässt sich die Entdeckung mithilfe des dritten Binoms begründen.

Für alle natürlichen Zahlen b, die man von a subtrahiert beziehungsweise dazu addiert, gilt die Rechnung (a + b) · (a - b) = a² - b² entsprechend der dritten binomischen Formel. Demnach ist das Ergebnis also immer um b² kleiner als die Quadratzahl a², wenn man die Faktoren um ± b verändert.

Literatur

Kramer, M. (2016). Mathematik als Abenteuer: Erleben wird zur Grundlage des Unterrichtens / Band 2: Algebra und Vektorrechnung (4. Aufl.). Klett Kallmeyer.

Krauthausen, G. (2018). Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule (4. Aufl.). Springer Spektrum.