Der Satz des Pythagoras - Mathematische Hintergründe

Der Satz des Pythagoras bildet eine der fundamentalen Aussagen der Geometrie und gilt ausschließlich für rechtwinklige Dreiecke.

Er lautet: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.“ (Scheid & Schwarz, 2017, S. 31)

Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies: c² = a² + b², wobei a und b die Katheten und c die Hypotenuse des Dreiecks sind. Die Katheten sind die beiden Seiten des Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen, während die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt (vgl. Scheid & Schwarz, 2017, S. 31).

Die Ausdrücke „Quadrate über den Katheten“ und „Quadrat über der Hypotenuse“ sind hier nicht lediglich symbolisch zu verstehen, sondern beziehen sich tatsächlich auf die Flächeninhalte der Quadrate, die über den jeweiligen Seiten konstruiert werden können (vgl. Scheid & Schwarz, 2017, S. 31). Damit gibt der Satz des Pythagoras eine Beziehung zwischen den Flächeninhalten dieser Quadrate an: In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

Quadratzahlen

Quadratzahlen sind „Zahlen, die sich als Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen (ungleich null) darstellen lassen“ (Landesbildungsserver Baden-Württemberg, 2024). Da sich Quadratzahlen mit Quadraten ausdrücken lassen, besteht ein enger Zusammenhang zwischen Quadraten und Quadratzahlen.

Kongruenzsatz sss (für Forscherkarte 2)

Ein Dreieck ist eindeutig definiert, wenn bestimmte Kombinationen von Seitenlängen und Winkeln bekannt sind (Kongruenzsätze). Zu einem der wichtigsten Kongruenzsätzen, der für die Forscherkarte 2 von Bedeutung ist, zählt der sss-Satz. Er besagt, dass ein Dreieck eindeutig definiert ist, wenn die Längen aller drei Seiten bekannt sind (vgl. Scheid & Schwarz, 2017, S. 16).