Magische Quadrate - Mathematische Hintergründe
Um Ihnen einen genaueren Einblick in die magischen Quadrate zu ermöglichen, wird eine Konstruktionsmethode für 3x3- Quadrate und die Herleitung der magischen Zahl erklärt:
In einem magischen 3x3- Quadrat müssen in die neun Felder die Zahlen 1 bis 9 eingetragen werden. Durch Addition aller neun Zahlen erhält man das Ergebnis 45. Alle Zeilen, Spalten und Diagonalen müssen die gleiche Summe ergeben, nämlich 15. Die magische Zahl ist demnach das Ergebnis aus der Division der Summe aller eingesetzten Zahlen und dessen Ordnung. Wenn Z die magische Zahl ist und n die Ordnung des Quadrates, sieht die Formel mathematisch folgendermaßen aus:
Um Ihnen einen genaueren Einblick in die magischen Quadrate zu ermöglichen, wird eine Konstruktionsmethode für 3x3- Quadrate und die Herleitung der magischen Zahl erklärt:
In einem magischen 3x3- Quadrat müssen in die neun Felder die Zahlen 1 bis 9 eingetragen werden. Durch Addition aller neun Zahlen erhält man das Ergebnis 45. Alle Zeilen, Spalten und Diagonalen müssen die gleiche Summe ergeben, nämlich 15. Die magische Zahl ist demnach das Ergebnis aus der Division der Summe aller eingesetzten Zahlen und dessen Ordnung. Wenn Z die magische Zahl ist und n die Ordnung des Quadrates, sieht die Formel mathematisch folgendermaßen aus:
Um zu erkennen, dass die 5 in einem 3x3- Quadrat in der Mitte stehen muss, betrachtet man die folgenden Gleichungen, die sich für die Summen der Reihen, Spalten und Diagonalen im allgemeinen 3x3- Quadrat ergeben:
- a+b+c+d+e+f+g+h+i = 45
- a+e+i = b+e+h =c+e+g = d+e+f = 15 ó a+b+c+d+e+f+g+h+i+3e = 60
Durch Einsetzen von (1) in (2) ergibt sich folgende Lösung für die Zahl e:
45 + 3e = 60 ó 3e = 15 ó e = 5
Das wiederum bedeutet, dass die beiden Zahlen, die in einer Flucht zur 5 stehen, die Summe 10 ergeben müssen, damit die magische Zahl entstehen kann. Mit den Zahlen 1 bis 9 können vier Zahlenpaare gebildet werden, die die Summe 10 ergeben. Diese Paare müssen nun so auf die Felder verteilt werden, dass sowohl Spalten und Zeilen als auch die beiden Diagonalen die magische Summe 15 ergeben. Durch Ausprobieren findet man heraus, dass die geraden Zahlen in den Ecken stehen müssen. Denn die Summe aus zwei ungeraden und einer geraden Zahl kann nicht die ungerade Summe 15 ergeben.
Ein besonderes magisches Quadrat
Wir wagen einen Blick auf eine größere Ordnung. Auf Albrecht Dürers Kupferstich „Melencolia“ von 1514 ist ein ganz besonderes magisches Quadrat zu erkennen. Die magische Zahl ergibt sich aus der oben gezeigten Formel:
Die Besonderheit dieses Quadrats liegt darin, dass man die magische Summe 34 nicht nur in allen Spalten, Reihen und Diagonalen findet, sondern auch noch in verschiedensten anderen Anordnungen.
Wie viele verschiedene Darstellungsformen der Zahl 34 können Sie finden?
Lassen Sie sich verblüffen und schauen Sie diesen Clip an, der alle zu findenden Möglichkeiten zeigt: https://www.mathematikum.de/ausstellungen/duerer/duerer/duerers-magisches-quadrat.
