Platonische Körper - Mathematische Hintergründe

Um die besonderen Eigenschaften der Platonischen Körper erkennen und verstehen zu können, ist es notwendig, diese im Vergleich zu anderen geometrischen Figuren genauer zu betrachten und zu analysieren. Dafür sind grundlegende Kenntnisse in der Körpergeometrie unverzichtbar. Nur wenn die Lernenden wissen, wie ein Körper aufgebaut ist, können sie verschiedene Polyeder miteinander vergleichen und die Platonischen Körper als einzigartige Figuren erkennen. Deshalb ist es sinnvoll, vorerst die relevanten Grundlagen zu klären.

Ein wesentliches Element zur Definition eines Körpers ist die Fläche. Maier (2003, S. 13) beschreibt eine Fläche bzw. ein n-Eck als eine geschlossene Form, die durch einen Streckenzug in einer Ebene begrenzt wird. Auf dieser Grundlage lässt sich ein Polyeder definieren. Nach Maier (2003, S. 17) handelt es sich bei einem Polyeder um eine zusammenhängende und geschlossene Struktur, die aus endlich vielen solcher Flächen besteht.                               

Darüber hinaus unterscheidet Maier (2003, S. 17) zwischen konvexen und nicht konvexen Polyedern. Da sich die vorliegende Forscheraufgabe ausschließlich auf konvexe Polyeder konzentriert, werden nur diese näher betrachtet. Konvexe Polyeder zeichnen sich dadurch aus, dass sämtliche Flächen keine einspringenden Kanten oder Ecken aufweisen. Das bedeutet, dass alle Winkel, sowohl die Innenwinkel einer einzelnen Fläche als auch die Flächenwinkel zwischen zwei benachbarten Seitenflächen, stets weniger als 180° betragen (Maier, 2003, S. 17). Dieses Verständnis der Winkel und Flächen ist zentral für die Analyse und das spätere Erkennen der besonderen Merkmale der Platonischen Körper.

Platonische Körper

Platonische Körper gehören zu den konvexen Polyedern, wodurch sie die oben beschriebenen Eigenschaften besitzen (Maier, 2003, S. 99ff.). Das Besondere an diesen speziellen Figuren geht jedoch über diese allgemeinen Merkmale hinaus. Maier (2003, S. 144) betont, dass sie sich dadurch auszeichnen, dass alle Seitenflächen und Körperecken eines Körpers kongruent sind. Ein weiteres einzigartiges Merkmal ist, dass in jeder Körperecke stets die gleiche Anzahl an Seitenflächen zusammentrifft (Adam & Wyss, 1994, S. 31).

Diese Eigenschaften machen die Platonischen Körper zu außergewöhnlichen Figuren, die sich durch vollkommene Symmetrie und Regelmäßigkeit auszeichnen (Ziegler, 2008, S. 6). Wie Ziegler (2008, S. 10) hervorhebt, weisen sie die höchstmögliche Anzahl an Regelmäßigkeiten unter allen Polyedern auf und sind damit wahrhaft einzigartige geometrische Formen.

Es gibt insgesamt fünf Platonische Körper: das Tetraeder, das Hexaeder (Würfel), das Oktaeder, das Ikosaeder und das Dodekaeder.

Abb. 2: Die fünf Platonischen Körper (Adam & Wyss, 1994, S. 11)

Warum gibt es nur fünf?

Warum es nur fünf dieser außergewöhnlichen Figuren gibt, kann unterschiedlich bewiesen werden. Eine Möglichkeit besteht darin, dies über die Winkelsumme einer Körperecke zu begründen. Eine wesentliche Voraussetzung für die Existenz eines Platonischen Körpers ist, dass die Winkelsumme an jeder seiner Ecken kongruent sein muss, damit ein solcher Körper entsteht (Maier, 2003, S. 144). Damit jedoch eine Körperecke überhaupt entstehen kann, müssen mindestens drei Seitenflächen zusammenkommen, wobei die Winkelsumme dieser Flächen kleiner als 360° sein muss. Nur so kann eine konvexe Ecke im Raum gebildet werden (Maier, 2003, S. 19ff.).

Demnach entstehen aus drei gleichseitigen Dreiecken die Ecke des Tetraeders (3*60°=180°), aus vier die Ecke des Oktaeders (4*60°=240°) und aus fünf die Ecke des Ikosaeders (5*60°=300°). Daneben bilden drei zusammenkommende rechte Winkel der Quadrate die Würfelecke (3*90°=270°) und drei Winkel eines Fünfecks die Ecke des Dodekaeders (3*108°=324°) (Adam & Wyss, 1994, S.16).

Sobald jedoch sechs oder mehr gleichseitige Dreiecke in einer Ecke zusammentreffen, erreicht die Winkelsumme mindestens 360°, was keine konvexe Ecke mehr ergibt. Dies führt dazu, dass kein neuer Platonischer Körper aus dreiseitigen Dreiecken entstehen kann (Adam & Wyss, 1994, S. 16; Maier, 2003, S. 21).

Das gleiche Prinzip gilt für Seitenflächen in Form von Quadraten (Innenwinkel: 90°) und regelmäßigen Fünfecken (Innenwinkel: 108°). In beiden Fällen können nur drei dieser Flächen zusammenkommen, um eine konvexe Ecke im Raum zu bilden. Dagegen würde ein Zusammenstoß von vier oder mehr dieser Flächen ebenfalls zu einer Winkelsumme von mindestens 360° führen und damit keine konvexe Ecke mehr ermöglichen (Adam & Wyss, 1994, S. 16).

Literatur:

Adam, P. & Wyss, A. (1994). Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde (2. Aufl.). Stuttgart: Verlag Paul Haupt Bern; Verlag Freies Geistesleben.

Maier, P. H. (2003). Körper und Raum – Die dritte Dimension: Ein Lehrbuch der Polyedergeometrie und eine Klassifikation konvexer Polyeder. Berlin: Verlag Franzbecker.

Ziegler, R. (2008). Platonische Körper. Verwandtschaften, Metamorphosen, Umstülpungen (2. Aufl.). Dornach: Verlag am Goetheanum.