Kartenhäuser - Mathematische Hintergründe

Die Berechnung der Häuser lässt sich mit der Gaußschen Summenformel leicht durchführen. Diese beschreibt die Summe der ersten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (1+2+3+4, …).

n ist dabei die Anzahl der Stockwerke, dadurch ergeben sich für 2 Stockwerke 3 Häuser, bei 6 Stockwerken sind es 21 Häuser, etc.

Die Gaußsche Summenformel, die dieser Aufgabe zugrunde liegt, lässt sich sowohl arithmetisch als auch geometrisch erklären: Die in der berühmt gewordenen Anekdote des neunjährigen Gauß über die in seinem Mathematikunterricht (Braunschweig, o. J.) entwickelte Grundformel bietet die Basis zur Summenformel: Bei einer Summe von aufsteigenden natürlichen Zahlen ist die erste zur letzten, die zweite zur vorletzten etc. zu addieren. Bei der Summe von 1+2+3+…+100 (somit n= 100) wären dies:

1+100=101

2+99 = 101

3+98 = 101

…

50+51 = 101

So erhält man 50 (entspricht n/2) Zahlenpaare, die jeweils 101 (entspricht n+1) in der Summe ergeben. So erschließt sich die Gaußsche Summenformel.

Diese lässt sich auch geometrisch gut darstellen und kann als unterstützende Grafik den Schülerinnen und Schülern helfen, sich die geschickte Umwandlung durch Addition der Zahlenpaare zu vergegenwärtigen und eine mentale Repräsentation zu erzeugen.

Geometrische Herleitung der Gaußschen Summenformel (Abb. Matthias Hennicke)