Quadratzahlen erforschen - Unterrichtliche Ideen

Die Schülerinnen und Schüler rechnen in der Erkundungsphase zunächst in Einzelarbeit mindestens vier Aufgabenpaare der Rechenkärtchen (siehe Erkunden und Entdecken), um eine individuelle Auseinandersetzung mit der Aufgabe zu ermöglichen. Je nach Jahrgangsstufe und Vorwissen wählen Sie als Lehrkraft zuvor die geeigneten Aufgabenpaare aus. So kann differenziert werden. Die Kinder sind dann frei in ihrer Rechenmethode. Sie entscheiden im Einzelfall, ob sie die Aufgabe sinnvoll im Kopf, halbschriftlich oder schriftlich rechnen.                                 

Die meisten Kinder merken schnell, dass sich die Faktoren der Partneraufgabe um ± 1 von den Faktoren der Quadrataufgabe unterscheiden. Außerdem stellen sie schnell fest, dass sich auch das Ergebnis um eins unterscheidet. Falls manche Kinder selbstständig keine Ideen haben, was entdeckt werden kann, gibt es zu der ersten Forscherkarte eine Tippkarte.

In einem nächsten Schritt, in der Entdeckungsphase, sollen die Schülerinnen und Schüler ihre Entdeckungen beispielhaft an der Aufgabe 4 · 4 und der dazugehörigen Partneraufgabe mithilfe des Punktefeldes erklären. Das mathematische Argumentieren stellt eine komplexe Anforderung an Grundschulkinder dar. Deshalb werden hierbei Schwierigkeiten erwartet. Aus diesem Grund sind 4 · 4 = 16 Plättchen auf die Forscherkarte gedruckt, um zu verdeutlichen, dass die Kinder die Punktefelder aus Plättchen legen müssen. Selbstredend müssen für diese Aufgabe Plättchen bereitgelegt werden. Da je nach vorherigem Einsatz der Punktefelder im Unterricht vermutlich trotzdem einige Kinder nicht wissen, was zu tun ist, gibt es auch zur zweiten Forscherkarte eine Tippkarte.

Das quadratische Punktefeld der Aufgabe 4 · 4 soll zunächst gelegt werden. Anschließend sollen die Schülerinnen und Schüler die Plättchen so verschieben, dass sie das passende Rechteck zu der Partneraufgabe 3 · 5 erhalten. Hierfür wird beispielsweise die untere Reihe auf die rechte Seite verschoben, wobei auffällt, dass ein Plättchen übrig bleibt.

Wenn die Kinder die Entdeckung mithilfe der Punktefelder beispielhaft für die Quadrataufgabe 4 · 4 und die passende Partneraufgabe 3 · 5 erklärt haben, wird ihnen mittels nachfolgender Animation gezeigt, dass die Argumentation mit dem Punktefeld auch für größere Aufgaben funktioniert. Bei der Animation ist ersichtlich, wie die Plättchen verschoben werden.

Animation 4 · 4

Animation 10 · 10

Animation 40 · 40

Der nächste Auftrag besteht darin, eine allgemeine Regel zu den Entdeckungen zu formulieren. Dies schult die Argumentationskompetenz und ist wichtig für die nachfolgenden Aufgaben. Aus diesem Grund sollte jedes Kind selbstständig versuchen, eine Regel zu finden. Sie als Lehrkraft können hier feststellen, ob die Entdeckung verstanden wurde.

Eine Formulierungshilfe für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler bietet die Tippkarte zu Forscherkarte drei.

Bei Forscherkarte vier wird lediglich die Regel angewendet.

Dies ist besonders motivierend, da die Kinder solche Aufgaben durch Anwendung der Regel nun schnell im Kopf rechnen können, indem sie von 40 · 40 = 1600 eins abziehen. Noch spannender wird es, wenn man den Kindern vorher ankündigt, dass es um Schnelligkeit geht und gegebenenfalls die Zeit stoppt oder mehrere Kinder gegeneinander antreten lässt.

Es folgt die Erfindungsphase, wobei die Kinder den Auftrag bekommen, ihre Regel aus Forscherkarte drei zu verändern. Sie sollen an den Aufgaben 6 · 6, 7 · 7 und 8 · 8 erproben, was passiert. Es ist zu erwarten, dass die Schülerinnen und Schüler die Regel derart verändern, dass sich die Faktoren der Partneraufgabe nicht mehr um eins unterscheiden, sondern zum Beispiel um zwei, drei und so weiter. Der Großteil der Forschenden vermutet höchstwahrscheinlich, dass sich dann auch das Ergebnis um zwei, drei und so weiter verringert. Dass dies allerdings nicht der Fall ist, stellen die Kinder fest, wenn sie ihre Annahme mit den Aufgaben 6 · 6, 7 · 7 und 8 · 8 überprüfen. Wenn sich die Faktoren der Partneraufgabe von der Quadrataufgabe um ± 2 unterscheiden, verringert sich das Ergebnis um vier. Bei einer Veränderung um ± 3 um neun.

Wenn die Forschenden eine andere Veränderung der Regel vornehmen, werden sie vermutlich rasch merken, dass sich keine Gesetzmäßigkeit finden lässt. Anschließend sollten sie andere Modifikationen der Regel ausprobieren, bis sie etwas entdecken können. Um im Falle von Schwierigkeiten zu helfen, gibt es eine Tippkarte.

Eine weitere Tippkarte schlägt eine Tabelle vor, um die Entdeckungen systematisch zu notieren.

Mithilfe der Tabelle wird ersichtlich, dass sich das Ergebnis der Partneraufgabe stets um das Quadrat der Zahl verringert, die zu den Faktoren addiert beziehungsweise subtrahiert wurde. Da die Argumentation dieser Entdeckung mit dem Punktefeld immer unübersichtlicher wird, je größer die Zahl wird um die man die Faktoren der Quadrataufgabe verändert, wird diese nicht explizit thematisiert, wenn die Idee nicht von einer Schülerin oder einem Schüler kommt. Sollte die Idee jedoch von einem Kind vorgeschlagen werden, kann das Punktefeld natürlich trotzdem zur Veranschaulichung herangezogen werden.